Квантовые вычисления - Стин Э.
Скачать (прямая ссылка):
В более общем случае необходимо отметить, что при фиксированном
соотношении к/п существуют коды, для которых отношение t/n ограничено
снизу при п -> ос (Calderbank and Shor 1995, Steane 1996, Calderbank et.
al. 1997). Из этого следует квантовый вариант теоремы Шеннона (см. раздел
2.4), однако точное определение емкости квантового канала остается
неясным (Schumacher and Nielsen 1996, Barnum et. al. 1996, Lloyd 1997,
Bennett et. al. 1996, Knill and Laflamme 1997). При конечном n
вероятность того, что помехи вызовут неисправимые
94
Глава 9
ошибки, определяется приблизительно как (ne)t+1, где е <§С 1 -
вероятность появления случайной ошибки в каждом кубите. Данное выражение
определяет очень мощное подавление помех. Для эффективной работы QEC
необходимо лишь уменьшить значение е до приемлемого с помощью аппаратных
средств. В качестве примера рассмотрим случай, когда е ~ 0,001. При п =
23 существует код, исправляющий ошибки в t = 3 кубитах (Golay 1999,
Steane 1996). Вероятность появления неисправимых помех ~ 0,0234 ~ 3 •
10~7. Таким образом, подавление помех по величине составляет более трех
порядков.
До настоящего момента описание QEC проводилось в предположении, что при
использовании квантовых гейтов, осуществлении измерений и создания
вспомогательного состояния помехи отсутствуют. Очевидно, что с целью
точного описания всех возможных ситуаций, возникающих в квантовом
компьютере, необходимо отказаться от данного предположения. Шор и Китаев
определили методы, в которых все используемые операции реализованы таким
образом, что операция исправления подавляет помех больше, чем их
возникает при ее осуществлении. Основная идея здесь заключается в
проверке состояний во всех случаях, где это возможно; в ограничении
распространения ошибок посредством тщательного определения структуры сети
и в периодичном определении синдрома: для каждой группы кубитов системы
qc определение синдрома осуществляется несколько раз, а сама система qc
корректируется лишь при получении t + 1 взаимно совместимых синдромов. На
рис. 14 изображена сеть с коррекцией ошибок при определении синдрома,
т.е. такая сеть, которая ограничивает распространение ошибок. Отметим,
что система а проверяется перед использованием, а каждый кубит системы qc
взаимодействует только с одним кубитом системы а.
При коррекции ошибок в процессе вычисления невозможно за один шаг
осуществить какое-либо случайное вращение логического кубита, описываемое
уравнением (33). Однако могут быть реализованы частные случаи вращения на
иррациональные углы. Таким образом, посредством повторения поворотов
вращение, в общем случае, определяется с любой степенью точности. Следует
также отметить, что множество вычислительных гейтов является скорее
дискретным, нежели непрерывным. В настоящее время были определены
требования, обеспечивающие надежность квантовых вычислений при
использовании QEC с коррекцией ошибок (Preskill 1997, Steane 1997). Они
очень трудновы-
Исправление квантовых ошибок
95
Рис. 14. Определение синдрома с коррекцией ошибок для QECC, описанного
уравнениями (47), (48). Верхние семь кубитов определяют систему qc,
нижние - вспомогательную систему а. Предполагается, что всем гейтам,
измерениям и собственным эволюциям присущи помехи. В данном случае
используются лишь гейт Н и двухкубитовый гейт XOR. Если несколько гейтов
XOR осуществляют идентичное управление объектным битом, то их изображения
на рисунке накладываются друг на друга (NB: данное изображение не
является стандартным). В первой части до изображения семи гейтов Н
определено создание для системы а состояния |0в) и проверка самой
системы: квадратный символ представляет измерение одного кубита. Если
результатом какого-либо измерения будет 1, то создание состояния начнется
с самого начала. Гейты Н преобразуют данное состояние вспомогательной
системы в состояние |0е) + |1в). Окончательно, семь гейтов XOR,
оперирующие кубитами систем qc и я, определяют один кубит по
закодированному базису (|0е), |1е)}- Данное действие переносит ошибки
типа X из системы qc во вспомогательную систему а и ошибки типа Z в
обратном направлении. Ошибки типа X, находящиеся в системе qc, могут быть
определены посредством измерения системы а. Для определения ошибок типа Z
необходима другая сеть. Подобные операции не подавляют все помехи в
системе qc, однако их применение между операциями вычисления снижает
накопление ошибок до приемлемого уровня
полнимые. Например, для вычисления, превышающего предел возможностей
лучших классических компьютеров, необходимо 1000 кубитов и Ю10 квантовых
гейтов. Не используя метод QEC, потребовалось бы снизить уровень помех до
порядка 10~13 на кубит на гейт, что является неосуществимым. С другой
стороны, с использованием метода QEC необходимо повысить сложность
компьютера в 10 или даже в 100 раз,
96
Глава 9
а для исправления каждого элементарного шага вычисления потребуются
тысячи гейтов. Однако при этом допустимый уровень помех будет равен
