Квантовые вычисления - Стин Э.
Скачать (прямая ссылка):
задача чрезвычайно сложна.
Следует отметить, что для реализации эффективной стабилизации при помехах
необходимо иметь некоторую информацию о подавляемых шумах. Самым
очевидным, близко соответствующим действительности предположением будет
предположение о неконтролированных стохастических помехах. Другими
словами, в заданное время или в заданном месте помеха оказывает какое-
либо влияние, однако влияния на различные кубиты, либо на один кубит в
разное время, не связаны между собой. Данное предположение соответствует
квантовому эквиваленту двоичного симметричного канала, описанного в
разделе 2.3. Опираясь на предположение о некоррелированных стохастических
помехах, можно расположить все возможные операторы ошибки М в
иерархической последовательности в зависимости от вероятности их
появления, т. е. наибольшую вероятность имеют те, которые действуют на
небольшое количество кубитов (т. е. лишь несколько слагаемых в тензорном
произведении отличны от оператора I.) С другой стороны, наименьшую
вероятность имеют операторы, действующие одновременно на большое
92
Глава 9
количество кубитов. Здесь задача заключается в нахождении таких квантовых
кодов, исправляющих ошибки (QECCs), которые исправляли бы все ошибки,
действующие на, максимум, t кубитов. Подобный QECC будет называться "код,
исправляющий t ошибок" ("t-error correcting code").
Простейшую систему функционирования кода (предложенную Калдербанком,
Шором и Стином) можно описать следующим образом. Отметим, во-первых, что
такой классический код с исправлением ошибок, как код Адамара,
представленный в таблице 1, может быть использован для исправления ошибок
типа X. Доказательство опирается на уравнение (17), которое позволяет при
операции извлечения синдрома определить вспомогательное состояние,
которое будет зависеть лишь от оператора ошибки Мд, но не от состояния
компьютера |ф). Из этого следует, что к квантовых бита хранятся
посредством 2к взаимно ортогональных п - кубитовых состояний |г), где
двоичное число г является членом классического кода С, исправляющего
ошибки (см. раздел 2.4). Однако все вышесказанное неприменимо к
исправлению ошибок типа Z. Заметим, что Z = НХН. Следовательно,
исправление ошибок типа Z эквивалентно повороту Н состояния каждого
кубита, исправлению ошибок типа X и обратному вращения состояния. Данное
вращение называется преобразованием Адамара и представляет лишь изменение
базиса. Далее необходимо отметить следующую особенность (Steane 1996)
iec jec-L
где Н = Н1Н2Н2 ... Нп. Другими словами, если квантовое состояние
создается путем суперпозиции всех членов классического кода С,
исправляющего ошибки, то состояние, для которого было осуществлено
преобразование Адамара, будет являться лишь суперпозицией всех членов
двойственного кода С-1-. Из этого следует, что после выполнения
нескольких шагов при использовании квантовых состояний, описываемых
уравнением (46), становится возможным исправлять и ошибки типа X, и
ошибки типа Z (а следовательно, и типа У) до тех пор, пока С и С1-
являются качественными кодами, исправляющими ошибки, т. е. пока оба кода
обладают хорошими корректирующими способностями.
В простейшем QECC, созданном по вышеописанному алгоритму, используется п
- 7 кубитов для сохранения одного (к = 1) кубита по-
Исправление квантовых ошибок
93
лезной квантовой информации. Необходимые для хранения информации два
ортогональных состояния создаются на основе кода Адамара, изображенного в
таблице 1.
|0Я) ее |0000000) + 11010101) + 10110011) + 11100110) +
+ |0001111) + 11011010) + 10111100) + 11101001) (47)
|1Я) ее |1111111) + 10101010) + 11001100) + 10011001) +
+ 11110000) + 10100101) + 11000011) + 10010110). (48)
Данный QECC обладает следующим отличительным свойством. Предположим, что
состояние общего вида (оно неизвестно), содержащее один кубит, создается
посредством спинового состояния а|0в) + 6|1.е), состоящего из семи частиц
со спином-|. Затем, над одним из семи спинов совершается какое-либо
действие. Несмотря на осуществление данной операции можно по-прежнему
точно определить первоначальное состояние кубита. Таким образом, данное
серьезное возмущение никак не повлияло на хранимую квантовую информацию!
Более мощные коды QEC могут быть получены из более мощных классических
кодов. Поэтому существуют более эффективные, чем описанные, конструкции
квантовых кодов. Предположим, что к кубитов сохранятся посредством п
кубитов. Поскольку сама ошибка может быть трех типов: X, Y или Z, то
существует 3п вариантов появления ошибки в одном кубите. Т.к. количество
битов синдрома составляет п - к, то (в случае если каждая ошибка одного
бита, равно как и отсутствие ошибки, обладают отличными синдромами)
необходимо, чтобы выполнилось неравенство 2п~к ^ Зп + 1. При к = 1 данное
неравенство точно выполняется для п = 5. Действительно, существует
подобный пяти ку-битовый код, исправляющий ошибки в одном кубите
(Laflamme et. al. 1996, Bennett et. al. 1996).
