Квантовые вычисления - Стин Э.
Скачать (прямая ссылка):
|ф) неизвестно, то она не может точно его определить: любое измерение с
ее стороны может вызывать изменение состояния; кроме того, Алиса не может
клонировать его, для того, чтобы провести измерения на копиях данного
состояния. Очевидно, что единственный способ передать бобу состояние |ф)
- это оправить ему физический кубит (т. е. электрон, или атом, или что-
либо еще) либо перевести данное состояние в другую квантовую систему и
отправить ее. В любом случае будет осуществлена передача квантовой
системы.
Выход из этих ограничений заключается в использовании метода квантовой
телепортации (Bennett et. al. 1993, Bennett 1995). Как и в случае
плотного кодирования, будем использовать квантовое зацепление в качестве
источника информации. Предположим, что у Алисы и Боба имеется зацепленная
пара кубитов в состоянии |00) + ) 11). Алиса должна передать Бобу один
кубит, находящийся в неизвестном состоянии |ф). В самом общем случае
можно написать: \ф) = а|0) + Ь|1), где а и b - неизвестные коэффициенты.
Следовательно, начальное состояние трех кубитов выражается как:
а|000) + ?>|100) + а|011) + Ь|111). (29)
После этого Алиса измеряет по базису Белла первые два кубита, т. е. она
измеряет неизвестный кубит и один кубит из зацепленной пары. Квантовая
сеть для этой операции показана на рис. 9Ь. После применения Алисой
гейтов XOR и гейта Адамара, но до измерения кубитов, получаем следующее
состояние:
|00)(а|0) + Ь|1)) + |01)(а|1) + Ь|0" +
+ |10)(о|0)-Ь|1)) + |11)(а|1)-Ь|0)). (30)
В результате измерения, проводимого Алисой, осуществляется замена данного
состояния на одно из четырех возможных и происходит выделение двух
классических битов. Данные два бита передаются Бобу,
58
Глава 5
и он с их помощью определяет, какой из операторов {I, X, Y, Z} ему
необходимо применить к своему кубиту для того, чтобы поместить его в
состояние а|0) + Ь|1) = |ф). Таким образом, Боб детектирует кубит (т. е.
квантовую информацию, а не реальную квантовую систему), который должна
была передать Алиса.
Следует отметить, что квантовая информация передается Бобу только в том
случае, если она исчезает у Алисы (свойство неклони-руемости). Кроме
того, квантовая информация является полной, поскольку состояние |ф) - это
полное описание кубита Алисы. А термин "телепортация" обращает внимание
на два вышеуказанных факта. Идея телепортации становится существенной при
рассмотрении в разделе 9 связи с помехами.
5.6. Сжатие квантовой информации
После того как было введено понятие кубита, необходимо показать, что он
является удобной мерой количества квантовой информации. Данное
доказательство было выполнено Джозса и Шумахером (Jozsa and Schumacher
1994), которые опирались на работы Холево (Kholevo 1973) и Левитина
(Levitin 1987). Перед началом доказательства необходимо выбрать величину,
показывающую, какой объем информации можно получить при определении
квантового состояния некоторой системы Q. Приемлемой является величина
энтропии фон Неймана (Von Neumann)
S(p) = -Trplogp, (31)
где Тг - частичный след оператора, ар - оператор сложности, определяющий
совокупность состояний квантовой системы. Это выражение необходимо
сравнить с уравнением (1), выражающим классическую энтропию Шеннона.
Предположим, что классическая случайная переменная X подчиняется закону
распределения вероятностей р{х). Если квантовая система находится в
состоянии |а;), которое определяется значением величины X, то матрица
плотности выражается как
X
причем состояния |а;) не обязательно должны быть ортогональными. Можно
показать, что энтропия 5(р) ограничивает сверху количество классической
общей информации I(X : Y) для величины X и результата измерения системы
Y.
5.6. Сжатие квантовой информации
59
Для перехода к кубитам рассмотрим ресурсы, необходимые для хранения и
передачи состояния квантовой системы q, задаваемой матрицей плотности р.
Идея состоит в накоплении подобных систем (их количество n > 1) и
переноса ("кодирования") совместного состояния на какую-либо систему
более низкого порядка. Данная система передается по каналу связи и при ее
получении, совместное состояние "декодируется" в п систем q', подобных
системе q (см. рис. 9с). Каждая система q' задается матрицей плотности
р', а сам процесс передачи считается успешно завершенным, если матрица р'
достаточно точно повторяет матрицу р. Мерой подобия матриц плотности
является точность передачи:
f(p, р') = (Tv vV/W/2)2- (32)
Данное выражение может рассматриваться как вероятность прохождения
матрицей р' проверки на ее совпадение с матрицей р. В случае, когда обе
матрицы р и р' определяют чистые состояния: \ф)(ф\ и \ф')(ф'\, точность
передачи является ни чем иным, как хорошо известным перекрытием: / =
\{ф\ф')\2.
В данном случае задача заключается в определении системы наименьшего
порядка с точностью передачи / = 1 - е при г < 1. Доказательство
аналогично идее "типичных последовательностей", приведенной в разделе
