Квантовые вычисления - Стин Э.
Скачать (прямая ссылка):
воздействие гейта является преобразованием Адамара. Не следует путать его
с гамильтонианом Ж-
(22)
I = |0)(0| + j 1) {11 = эквивалентность Х = |0)<1| + |1)<0| = НЕ (NOT)
Z = P( тг)
YiaXZ
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
Я =-^[(|0) + |l"(0| + (|0)-|l"(l|].
52
Глава 5
NOT (CNOT) записывается в виде
|00) -+ |00)
|01> -> |01) ,
1 1 (28
|10) -> |11) 1
|11)-> |10).
Здесь второй кубит "проходит" через операцию НЕ только в том случае,
когда первый кубит находится в состоянии |1). Данный перечень изменения
состояний аналогичен таблице истинности классического двоичного
логического гейта. Операция (с двумя входами) controlled-CNOT над
состоянием |а)|5) может быть записана как а -)• а, Ъ -"• а (c) Ъ. где (r)
обозначает операцию "исключающее ИЛИ" (XOR). По этой причине данный гейт
также называется XOR-гейтом.
Другие логические операции требуют большего количества кубитов. Например,
операция И (AND) реализуется посредством трехку-битового гейта
controlled-cont,rolled-CNOT, в котором над третьим кубитом производится
операция НЕ, только если два других находятся в состоянии |1). Данный
гейт назван в честь Тоффоли (Toffoli 1980), который показал, что
классический вариант является универсальным для классических обратимых
вычислений. Действие данного гейта на состояние |а)|5)|0) выражается как
а -+ а. b -+ Ь, 0 -+ а ¦ Ь. Другими словами, гейт выполняет операцию И
(AND) над двумя первыми кубитами, если третий кубит находится в состоянии
|0). Здесь присутствие трех кубитов необходимо для того, чтобы вся
операция в целом была единична и, таким образом, соответствовала
квантово-механической эволюции.
Само нахождение последовательности комбинации гейтов для реализации таких
элементарных арифметических операций, как двоичное сложение и умножение,
является увлекательной задачей. Большое количество основных схем было
предложено Баренцо (Вагепсо et. al. 1995b), а более глубокое рассмотрение
общего случая проектирования схем дано Ведралом (Vedral et. al 1996) и
Бекманом (Beckman et. al. 1996).
Общее воздействие последовательности квантовых гейтов может быть записано
посредством операторов: например, -Xi^XORj^l^), где |ф) - некоторое
состояние из трех кубитов, а индексы при операторах показывают номер
кубита, на который они воздействуют. Однако в случае последовательности
нескольких квантовых гейтов данное обо-
5.3. Неклонируемостъ квантового состояния
53
Ф
I <р>
<ё>
Х{Нг XOR13|<9>
ф
Рис. 8. Пример "квантовой сети". Каждая горизонтальная линия представляет
эволюцию одного кубита во времени (движение слева направо). Символ,
расположенный на одной линии представляет однокубитовый гейт. Символы,
расположенные на двух линиях и соединенные вертикальной чертой
представляют двух кубитовые гейтовые операции с данными двумя кубитами.
Изображенная на рисунке сеть определяет операцию Xii^XORi, з|<^). Символ
(r) представляет функцию X (NOT), Н - гейт Н; закрашенный круг, соединенный
с символом (c) - операцию controlled NOT
значение становится громоздким и сложным для прочтения, поэтому его
заменяют диаграммой, называемой квантовой сетью (см. рис. 8). В
последующем будут использоваться именно эти диаграммы.
5.3. Неклонируемость квантового состояния
Теорема неклонируемости. Неизвестное квантовое состояние не может быть
клонировано.
Эта теорема говорит о том, что нельзя получить точные копии квантового
состояния до тех пор, пока оно не определено (т. е. пока не получена
классическая информация, характеризующая данное состояние.)
Доказательство.
Для получения копии квантового состояния |а) необходимо подвергнуть пару
квантовых систем эволюции, описываемой как: {/(|а)|0)) = = |а)|а), где U
- унитарный оператор эволюции. Если это условие выполняется для любого
состояния, то оператор U не должен зависеть от а и, следовательно,
f7(|/3)jO)) = \(3)\Р) для \f}) ф |а). Однако для состояния I7) = ((а) +
\(3))/V2 получим ?/(|7)|0)) = (|а)|а) + + \Й\Р))/'/% ~Ф- ЫМ" 8
следовательно, операция клонирования не выполняется. Этот вывод применим
к любому предложенному методу клонирования (Wooters and Zurek 1982, Dieks
1982). ¦
Следует отметить, что данный оператор "клонирования" U применим к
некоторым состояниям (состояния (а) и |(3) в вышеприведенном
54
Глава 5
примере). Но поскольку данный оператор сохраняет след, два различных
клонируемых состояния должны быть ортогональными: (а|/?) = 0. До тех пор,
пока неизвестно, принадлежит ли клонируемое состояние к одному из
вышеуказанных, нельзя с уверенностью сказать, что какой-либо выбранный
оператор U обеспечит его точное клонирование. Все это находится в
противоположности с классической информацией, когда устройства, подобные
ксероксам, легко делают копии любой предоставляемой информации. Операции
CNOT или XOR из уравнения (28) являются операциями копирования для
состояний |0) и |1), но не для таких состояний, как |+) = (|0) + |1))/\/2
и |-) = (|0) - |1))/\/2.
Теорема неклонируемости и парадокс EPR ведут к довольно тонким выводам, в
