Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
jtEn(t) = -(Qn + ф„)?„ sm(Q„t + <рп) + E„cos(Qnt + <р„)
—2En(t)= -2QnE„sm(Qnt + %) -(Qn + фп)2E„cos(Qnt + <р„) dt (3.77)
Здесь мы пренебрегли малыми членами, содержащими ip, ? и <р-Ё. Поляризацию можно записать в том же виде, что и (3.76), но при этом необходимо учесть возможность фазового сдвига вп между полем и индуцированной поляризацией P (t)
Pn(t) = P„cos(Qnt + Ф„ - в„)
= />ncos0„cos(?„r + ф„) + />„sin0nsin(?„r + ф„)
= Cncos(Q„t + %) + S„sin(fl„? + <р„).
(3.78) ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛАЗЕРА
153
Подставим (3.77) и (3.78) в уравнение (3.75) и по отдельности приравняем члены, имеющие сомножителем sin unt и cos Qnt. Это необходимо для того, чтобы уравнения удовлетворялись в любой момент времени. Кроме того, сразу предположим, что диссипативный член (1 /r){dEn/dt) мал, и пренебрежем слагаемыми с ф/т и Ё/т. Это приближение применимо для высокодобротных лазерных резонаторов. В результате получаем уравнения
ь 1 „ ?„ ztO
[йп2-(й„ + Ф„)2]^ = ^С„. (3.80)
eO
В уравнении (3.80) можно использовать приближенное выражение для частоты генерации
Й„ + ф„ = Й„. (3.81)
Тогда
Й„2-(Й„ + Ф„)2= -2Й„Ф„, (3.82)
и уравнение (3.80) можно переписать в виде
VnEn=-^Cn. (3.83)
Уравнения (3.79) и (3.83) самосогласованно определяют амплитуды и фазы генерируемого излучения (En и <рп). В общем случае компоненты поляризации Sn и Cn выражаются через все амплитуды E1, E2 ... и фазы ^1, ip2, ..., и мы приходим к замкнутой системе нелинейных зацепляющихся уравнений. Часто, вполне достаточную точность обеспечивает приближенное решение (3.79) — (3.83) методом последовательных итераций. При этом в качестве нулевого приближения можно приравнять частоту лазерной генерации собственной частоте резонатора Тогда из (3.79) получаем выражение для амплитуд, и, подставляя их в (3.83), находим уточненное значение ф. Ту же процедуру можно повторить, уточняя решение, но оказывается, что в случае мно-гомодовой генерации итерационный метод часто расходится. Физически это соответствует тому, что относительные фазы
і 154
ГЛАВА 1.
разных мод становятся самосогласованными, и возможен режим синхронизации мод при лазерной генерации. В конце главы мы приводим ссылки на работы, в которых эти эффекты подробно исследованы, и далее в книге не будем останавливаться на специфических задачах многомодовой генерации.
В этом разделе в качестве иллюстрации мы покажем, как общие уравнения используются для описания одномодового лазера с однородной полосой усиления. Такая идеальная ситуация была бы возможна в одномодовом твердотельном лазере, атомы активной среды которого имеют одинаковое окружение. Для простоты опустим в дальнейшем индекс п у всех величин.
Выражения для ChS получены в (2.44а) и (2.446). Для читателя может быть полезным сравнение используемого здесь подхода с рассмотрением поляризации в разд. 2.2. Сравните, в частности, использованные ранее разложения (2.25) и (2.42) с более общими разложениями в этом разделе.
Для амплитуды поля получаем уравнение
? + = (3.84)
Z{J Ze0Ziy21
Оно имеет тот же вид, что и уравнение (3.54), полученное в предыдущем разделе. Запишем условие, определяющее порог генерации при Д = О,
NN0 > NtN0 = -^I. (3.85)
Qp2
Сравним этот результат с полученным в разд. 3.3 значением пороговой накачки в случае неоднородного уширения. Используя (3.59), получаем.
— Г.<_Д— -^ — Vir < 1. (3.86)
N7. (неоднородное) к и
Это очень естественный результат. В среде с неоднородным уширением только малая доля всех атомов ~(у21/ки) дает вклад в усиление. Поэтому для достижения генерации накачка должна быть гораздо более сильной, чем в среде с однородной полосой усиления. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛАЗЕРА
155
Используя разложения (2.45) и (3.85), запишем условие стационарности для системы с малым насыщением в виде
где N = N/NT. Отсюда для безразмерной интенсивности получаем
По аналогии с полученным ранее результатом (3.64) находим /ос (N— 1) в окрестности резонанса. Легко получить соотношение типа (3.88) и не ограничиваясь малой интенсивностью. Для этого нужно использовать точное выражение для функции F(A) в (2.45). В случае точного резонанса (Д = 0) для I можно записать
= 2AN- 1) +UN- І)2 - MN - і)3 + • • • • 0-89)
Учитывая только первый член разложения, получаем уже известный результат (см. (3.88) для Д = 0). Обратим внимание на то, с каким знаком входят в (3.89) поправочные члены. Слагаемое (N— I)2 увеличивает / по сравнению с нулевым приближением, a (N— I)3 — уменьшает. Это проявление насыщения выходной мощности.
Из (3.88) видно, что условие генерации (N > 1) выполнено до тех пор, пока отстройка не очень велика. Критическое значение Д определяется из условия
1 = NL(A)F(AfI) » -il-qL(A)+ •••], (3.87)
т,/ =
2 NL(A) -1
3 NL1(A)
(3.88)
(3.90)
Зная ширину лоренциана ?(Д), можно сказать, что это условие выполняется при ІДІ <: 72), т. е. полоса генерации имеет шири- 156
ГЛАВА 1.
ну порядка y2,,. что и можно было ожидать из физических соображений.
Для определения частоты генерации подставим в выражение (3.83) коэффициент С из (2.44а). Пусть
