Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
_=» - =W1.
(2.61)
Тогда
JPii = ^2- уPn - '«!CosШ(р21 - р12), (2.62а)
JPїї = - JiPu + '"icosШ(р21 - р12), (2.626) воздействие сильного поля на вещество 95
d Pu = -1 + iwIPzi - iwIcc* ?'(/>22 - Pn)- (2.62в)
л 1 U2
Введем новые переменные
rI = Pi2 + P2I ' (2.63а)
^2= -«'(Pi2-Р21)' (2.636)
= P22 - Р11 - (2.63в)
которые можно интерпретировать в терминах дипольного момента и разности заселенностей. Тогда уравнения движения приобретают вид
• л
-rR3 = X2 - X1 - - IulCosQtR2 , (2.64а)
at 1J
d п Rjl
Г2
^R1= uR2, (2.646)
dR-
R2= - + UR1 + 2<OjCos?/A3. (2.64b)
2
Если рассмотреть базис из трех ортогональных единичных векторов ёр ё2, ё3 и определить вектор
R = ,R1C1 + A2e2 + A3e3, (2.65)
то уравнения (2.64) можно переписать в компактном виде
R=--1' + + ? X R, (2.66)
dt I1 I1
где член Jl можно рассматривать как внешнее поле
? = ^u1Cosfire1 + <оё3. (2.67)
Стационарное решение в отсутствие взаимодействия есть
R1 = R2 = 0 (2.68а)
R3 = R03 = (X2-X1)T1. (2.686)
Уравнение (2.66) называют уравнением Блоха. Оно было впервые введено для решения задач спектроскопии ЯМР и сейчас широко используется для описания магнитного резонанса. При 96 ГЛАВА 1.
этом вектор R пропорционален магнитному моменту ядра с любым числом уровней. Однако, как легко видеть, уравнение (2.66) описывает и поведение двухуровневой системы в оптической спектроскопии. При этом вектор R определен в фиктивном («энергетическом») пространстве. Оптические уравнения Блоха особенно широко используются в спектроскопии нестационарных процессов.
Пример 1. Если ух Ф у2, то для трех компонент вектора R нельзя записать замкнутой системы уравнений, так как полная населенность в системе зависит от времени и является четвертой неизвестной. Покажите, что уравнение для нее имеет вид
j(pl2 + Pll) = \ + Л2 - HYl + Y2)(p22 + Pu)
+ HYi-Y2)* J. (2-69)
Докажите, что в стационарных условиях уравнение (2.64) все же можно использовать, но с заменой и времени продольной релаксации на
T1 = V1^; (2-7°)
2YiY2
и членов, описывающих накачку. Исследуйте предельный случай Yi = Y2-
И в радиоспектроскопии часто используется ПВВ. Это можно сделать, преобразуя уравнение для матрицы плотности точно так же, как в (2.12). Но ПВВ удобно применить в виде замены переменных
= R1CosQt - Л2sin Qt, (2.71а)
R2 = R2 cos Qt + R1 sin Qt. (2.716)
Отсюда сразу видно, что R1 и R2 — поперечные компоненты R в системе координат, вращающейся с частотой П вокруг оси ё3.
Пример 2. Покажите, что, пренебрегая быстроосциллирую-щими членами, т. е. используя усреднение
cos2?/ = sin2?r = \
ш ВОЗДЕЙСТВИЕ СИЛЬНОГО ПОЛЯ НА ВЕЩЕСТВО
97
sin ?/cos?/ = 0, (2.72)
для вектора R = ^e1 + R2B2 + /?3ё3 можно получить уравнение Блоха (2.66), если при этом заменить Л на П = — W1C1 + (со — - П)е3.
Поправки к ПВВ можно найти, используя метод преобразования Фурье. Разложим компоненты R в ряды
= Zd„einai (2.73а)
П
Ri = iLc„einQ' (2.736)
п
Ri = iLs„einQ'. (2.73b)
Подставляя эти выражения в (2.66) и приравнивая коэффициенты При одинаковых гармониках получаем алгебраические уравнения
'inQ + ±-)d. = ^Ho - + (2-74а)
Ш + jr \ся=-ш„, (2.746)
inQ + ^Jje = сосп - + 1 + d„_x). (2.74b)
Отсюда легко получить
d„ = R0Ao + ^Dx(n)(sn+l + J^1), (2.75а)
s„ = o>xD2(n){dn+l + dn_,), (2.756)
Где
D1(Ii) ^- , (2.76а)
/— - nQ
1I
7—504 98
ГЛАВА 2
D2(n) =
— і
w a +
+
U
in a + —
+
Д -(«a + «)
(2.766)
Уравнения (2.75) представляют собой бесконечную систему разностных уравнений. Неоднородность определена членом R°8n0. Поэтому d0 отлично от нуля и в свою очередь определяет S11 и S_J. Эти члены связаны уже не только с d0, но и приводят к ненулевым d+ 2 и d_2. Отсюда очевидно, что из всех dn отличны от
нуля четные компоненты, а из Sn — нечетные. Определим
D(n) = Dx(n)\ Xn=П — четные,
R3
D(n) = D2(n)- хп =
R03
п — нечетные. (2.77)
При этом задача сводится к одному рекуррентному соотношению
= + + (2-78)
Это уравнение можно решать методом цепных дробей. При п > 0 имеем
хп IalD(H)
1 -UlD(It)-
+ 1
(2.79)
Положим п = 1 и будем последовательно применять (2.79). Тогда
WlZ)(l)
o\D(2)D(S)
(2.80)
1 -
1 - ВОЗДЕЙСТВИЕ СИЛЬНОГО ПОЛЯ НА ВЕЩЕСТВО
99
При п < О решение аналогично:
UlDin)
1 - WjZ)(H):
Поэтому при п = —1 имеем
COlDi-1)
w?D(-l)Z)(-2)
(2.81)
(2.82)
1
1 -
Подставляя (2.80) и (2.82) в уравнение (2.78), при п = 0 находим решение d0 в виде
do - хокг
о _
1 - w1ZJ(O)
= ЯЦ\ + Iu21T1
dO + dO
т
+
Di-1)
i ы?Р(1)Д(2) 1 w]Z>(-l)Z)(-2)
1 -
Так как для всех п
Di-n)= -[Z)(«)]%
то
dO =
Rl
1 - 2 w1 Sr1Im D(I)
w1Z)(l)Z)(2)
\ - ...
(2.83)
(2.84)
(2.85)
В первом приближении вся цепная дробь в числителе (2.85) заменяется на 0(1). Используем при этом
Imfl(I)=
1
+
1
. (2.86)
1 + ТЦй - ay 1 + Г/(й + w) Вблизи резонанса Q = w вторым лоренцианом можно прене-
