Основы лазерной спектроскопии - Стенхольм С.
Скачать (прямая ссылка):
(Г + у)2» (Я2 +уГ). (1.168)
При этом по сравнению с диссипативным членом второй производной можно пренебречь. Тогда при сильном затухании уравнение движения переходит в
(Я2 + уГ) /Я2
У=--T-T-I-/ = - —
У + Г ' \ Г
+ y)(l ~f+ (1.169)
где мы пренебрегли поправочными членами порядка (7/Г)2. При У < Г уравнение (1.169) совпадает с адиабатическим пределом (1.160), т. е. с (1.165).
Рассмотрим частный случай, встречающийся в прикладных 64
ГЛАВА 1.
задачах, когда затухание у пренебрежимо мало и
Y » У- (1.170)
При этом член с Q2ZT является основным в правой части (1.169) и уравнение движения тривиально. Тогда
ЯГ » ?2 » уГ (1.171)
и
? » у. (1.172)
Следовательно, затухание y(t) невелико и уравнение движения (1.160) переходит в
у+ Q2y=-Ty. (1.173)
Отметим, что для выяснения того, какая переменная быстрая, а какая медленная, недостаточно одного лишь уравнения (1.160), так как параметры у и Г входят в него симметрично. Приписать ту или иную характерную скорость распада обеим переменным можно лишь на основании первоначальных уравнений (1.159).
Покажем теперь, как метод адиабатического исключения позволяет упростить некоторые спектроскопические задачи. В качестве примера рассмотрим уравнение для матрицы плотности
Ihj-Pnm = ?(Яп/р/т - PnlHlJ - ihynmpnm. (1.174)
/
За счет дефазировки недиагональные элементы обычно распадаются гораздо быстрее диагональных. Предположим поэтому, что быстрые переменные — это недиагональные матричные элементы, которые быстро достигают своего квазистационарного значения, т. е. могут быть адиабатически исключены. Введем обозначения
Нпп = Еп
Hnm=Vnm апяпФт. (1.175)
Получим решение уравнения (1.174) в первом порядке по Vb квазистационарном приближении, т. е. пренебрегая членами с производной. Члены высшего порядка приводят лишь к незначи- •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
65
тельному сдвигу и уширению резонансов. В результате имеем
V
_ _ пт_/ __\
Рпт ~ еп-ет- Mynm"" ~ Ртт)
Кт 1 (Pnn-Pmm)- (1-176)
h и„т — /у„
пт т
Подставляя эти выражения для рпт в уравнения для диагональных элементов, получим уравнение для вероятности заселенности отдельного уровня
JtPnn = -УппРпп - ^И(К/Р/п - PnIvIn)
_ у IM УппРпп ' Lmi . -)
I Я
1 1
uIn - ІУпІ uIn + ІУпІ
(Pu - Рпп)
wm = ^rf- Tj=lT- (1-178)
= -УппРпп + IX (PI1 -Pn J- (1-177)
/
Домножив обе части уравнения на N0, число атомов, получаем скоростные уравнения для заселенностей уровней N1 = N0p„. Скорость переходов определяется выражением
Wml2 Упі h2 Ч2/ + У2,
Хотя данный результат был получен для больших уп1, формально устремляя у к нулю в (1.178), получаем
щп _ 2wM5(4i() = 2*,KJ2S(En _Eh (1 л?9)
а это результат теории возмущений. Необходимо иметь в виду, что полученный нами результат не описывает динамики системы при уп/ — 0. МЬнее жесткие условия применимости уравнение (1.177) имеет в стационарном случае. Здесь предположение о различии временных шкал не является необходимым, так как вывод этого уравнения основывался именно на пренебрежении производными.
Скоростные уравнения типа (1.177) часто используются для описания временной эволюции лазерных систем. Они вполне 5-504 66
ГЛАВА 1.
приемлемы, если речь идет лишь о качественных оценках. При этом требуется тщательная проверка того, что кроме требования на быстрый распад недиагональных элементов удовлетворяется и условие самосогласованности решения. Характерные скорости изменения величин P11 должны быть гораздо меньше, чем упт. Чтобы выполнить это требование, могут потребоваться и дополнительные ограничения на параметры, как в разобранном выше примере (см. (1.170)).
1.9. ВЛИЯНИЕ ДВИЖЕНИЯ АТОМОВ
Эффект Доплера приводит к изменению частоты перехода и. Если атом движется к наблюдателю со скоростью и, то
U=W
1 + v/c Г (V\ 1 / V \2
» и 1 + - +- - + /l -(v/c)2 Ус> Лс}
(1.180)
Обычно скорости атомов гораздо меньше скорости света, и поправками высших порядков можно пренебречь. Волновой вектор излучения, частота которого близка к частоте атомного перехода, можно представить в виде
* = -«-. (1.181)
сс v
Поэтому для частоты со' имеем
и' = w + kv. (1.182)
Рассмотрим газ, частицы которого имеют максвелловское распределение по скоростям. Тогда для каждой компоненты скорости
W(v) = -^e-v2/"\ (1.183)
VW и
Наиболее вероятная скорость
"-/тг <"84>
определяется температурой газа T и массой частиц М, кв — постоянная Больцмана. В газовом разряде распределение по скоростям может отличаться от (1.183), но эти отличия обычно несущественны. •ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ СПЕКТРОСКОПИИ
67
За время t фаза недиагонального элемента матрицы плотности изменяется на величину
u't = ut + kvt, (1.185)
где вклад от доплеровского сдвига можно записать как
kvt = 2irj. (1.186)
Так как расстояние, пройденное атомом, равно vt, доплеровский сдвиг нужно учитывать лишь в тех случаях, когда в среднем, взаимодействуя с излучением, атом проходит без столкновений расстояние, которое больше длины волны света X.
