Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 155

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 .. 159 >> Следующая

показано в этом пункте (мы положили i + 1 = 0), для всех точек
поверхности (5) имеет место равенство
а..-" 25й! ,<,-"•).?21.0.
дп
дп
Умножая его на Р{\') и интегрируя полученное равенство по поверхности
(5), получим
Э Р(\')
(1 + Rc А.' +1 Im A.') J ? | )
дР(\1)
дх
ду
дг
э Р{\') ду
J dr = (1 - Re к' - i Ini Л')/? | I I dz I J
Если Ini ф 0, то отсюда вытекает, что
Э />(*') дх
ЭР(К) ду
*Р(К')
дг
Э Р(\') дх
| J dT = 0
и, следовательно Р(\') = 0.
Отметим также, что при Л' = - 1 имеем
j-^l Э/>(Л> IJ ^ I Э/"(Л') |J | дР
дх
ду
и Р{-\) - 0 в D', а следовательно, и во всем пространстве. То есть и
точка X = - 1 не является полюсом функции V. (Прим. ред.)
422
слоя приведется к следующему: X cos ф
Р(*>= - /Р(Х) -г- ds D(k)f. 2п г2
Положив X = 1, получим 1 cos ф
Р(1) = - /Р( 1) -ds - D(l)/: 2я г2
(145)
Интегрируя это уравнение по всей поверхности (5) и учитывая известную
теорему Гаусса (равенство (112) гл. 1. п. 33), получим
то X = 1 есть необходимо простая точка функции V.
В самом деле, допустив противное, т.е. что при условии (147) имеет место
равенство (146), получим из (145)
Далее, из равенства 137 следует, что P(k) = a'V +Я| К| + а2 V2 + ...
+apVp,
где а', ак (к = 1,2 р) суть постоянные, зависящие только от Х,ипо
предыдущему (пп. 35 и 34)
Отсюда заключаем, что
-p(X) = a'(/i + Vi + • • ¦ +X*pi + . . .)+atf +a2pi + ... +appp_l.
Так как при всяком к (см. гл. И) f p'kds = f J\ds, f pk ds = f f ds и no
принятым в п. 35 условиям / /\ds = 0, аряд/| +Xpi + ... +Х*р* + ...
сходится равномерно на поверхности (S), то
- f p(\)ds = (a| +а2 + ... +flp) / fds.
Отсюда, следует, что, при условии (147),
fp(l)ds =0. (149)
38. Итак, если функция f подчинена условию (147), то функция р(1) есть
функция, удовлетворяющая уравнениям( 148) и (149), т.е. равна тож-
423
0(1) Sfds = 0.
Отсюда сдедует, что если f f ds?= 0, то необходимо D{ 1) = 0,
т.е. X - 1 есть полюс функции V; если же Sfds = 0.
(146)
(147)
Р(1) =-- /РО)
(148)
ds
г
дественно нулю, как показано в п. 5 гл. 11. При этом в силу (144) и Р(1)
=
= 0, что невозможно, если X = 1 есть полюс функции V.
Таким образом, доказано, что если / удовлетворяет условию (147), то X = 1
есть простая точка функции К; иначе говоря, ряд (92) :
V=V, +ХК2 +Х2К3 + ... +Х*~'К*+ ...
сходится равномерно на поверхности (5) (а следовательно, и внутри (5))
при Х = 1. Отсюда на основании равенства (110t) (п. 27) заключаем, что
уГЩ
lim - = / > 1 и, следовательно, в силу неравенств
(102) при вся-
V ^*+1
ком к
Wk+i/Wk < Щ2 =q2 < I. (150)
Получаем следующую теорему.
Теорема. Пусть f есть заданная непрерывная функция точек поверхности (5).
Составляем ряд функций Vk по формулам
1 / 1 ЭК*_, ds
К, =- _ /_*. Vk = - - / -i-L - (* = 2,3, ...).
2 nr In Ъп г
Для всякой поверхности Ляпунова отношение интегралов
2 I / Л1/ \ 2
остается меньшим некоторого числа q2, меньшего единицы, если функция /
удовлетворяет условию
f fds = 0. (151)
39. Коль скоро эта теорема установлена, то стоит повторить почти дословно
рассуждения пп. 30-35, чтобы доказать, что неравенство (130) п. 34, а
именно
\pk\<L'ok (о<1), (152)
имеет место для любой поверхности Ляпунова, какова бы ни была заданная
функция/, непрерывная на поверхности / и подчиненная условию (151).
Таким путем приходим к следующей теореме.
Основная теорема. Принцип Робена, а следовательно и принцип К. Неймана,
применим ко всякой поверхности Ляпунова (п. 17 гл. I).
Сопоставляя эту теорему со всеми результатами предыдущих исследований,
приходим к следующему общему заключению:
Все приемы решения основных задач математической физики, как то: задачи о
распределении электричества, задачи Дирихле, Гаусса и Неймана и все
вытекающие из применения этих приемов следствия, указанные в предыдущих
главах, начиная с главы II, справедливы для любой поверхности Ляпунова.
40. Изложенное здесь доказательство основной теоремы, установившее самым
ходом анализа ее естественную связь с теорией фундаментальных функций
Пуанкаре, представляется более сложным, чем то, которое дано мною в 1900
г. в мемуаре "Les methodes ge'nerales pour resoudre etc." (Anna-
424
les de Toulouse), но зато устанавливает справедливость этой теремы для
всех поверхностей Ляпунова независимо от того, возможно ли для них
преобразование Пуанкаре или нет. Такой именно путь рассуждений пришлось
избрать потому, что фундаментальную теорему Пуанкаре (см. п. 2), до сих
пор строго в общем виде не доказанную, следствием которой служит
неравенство (150), мы должны были заменить теоремой более частного
характера, которой дали название фундаментальной теоремы Пуанкаре -
Зарембы (см. п. 20).
В упомянутом выше мемуаре *) исходным пунктом рассуждений служила
фундаментальная теорема Пуанкаре, которая привела сначала к неравенству
(150), а затем и к принципу Робена (неравенство (152)); здесь же нами
доказано сначала неравенство (150) независимо от фундаментальной теоремы
Пуанкаре, которую, наоборот, мы можем вывести как следствие этого
Предыдущая << 1 .. 149 150 151 152 153 154 < 155 > 156 157 158 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed