Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
то же время в виде ряда
/>(Х) = Л> +Х/>, +\2Р2 + ... + \кРк + ....
где Рк (к = 0, 1,2,...) суть также потенциалы простого слоя, сходящегося
при тех же значениях X. Знаменатель выражения У (равенство (137)) есть,
очевидно, полином степени не больше р от X с постоянными коэффициентами.
Итак,
У = Р(\)№(\). (138)
419
Таким образом, для всех значений Л, меньших или равных наперед заданному
числу А', функция V, определяемая рядом
К = К, + ХК2 + Х2К3 + ... + Х*_1К* + ...,
изображается в виде дроби (138)*).
Сопоставляя все сказанное, приходим к следующей теореме.
Теорема. Какова бы ни была заданная непрерывная на поверхности (5)
функция }', функция V, гармоническая внутри (5) и удовлетворяющая условию
ЭК/ ЭК, ЭК
---------------=-2Х--------2f на поверхности (5), (139)
Эн дп дп
есть мероморфная функция параметра X внутри круга любого радиуса А,
представляющаяся в виде дроби
K = />(X)/D(X), (140)
где Р(\) есть потенциал простого слоя, а /5(Х) - полином некоторой
степени р, корни которого служат, вообще говоря, полюсами функции К.
Эта функция остается голоморфной внутри круга радиуса единица, так что
наименьший из ее полюсов либо равен, либо больше единицы.
36. Теорема имеет место для всякой поверхности Ляпунова. Не входя в
дальнейшие подробности относительно свойств функции К, рассматриваемой в
качестве функции параметра X, которые будут изложены в томе III нашего
сочинения и приведут к теории фундаментальных функций, мы докажем сейчас
лишь следующее предложение:
Функция К может иметь только простые (некратные) полюсы.
Пусть X = X' есть какой-либо полюс функции К. Обозначим через Р^(\)
производную порядка s от функции Р(\) по X. Подставив выражение (140) для
К в уравнение (139), получим
Э #"ДХ) Э/>,(Х) дР(\)
~~ ~ = - 2Х -----2D(X)f. (141)
дп дп дп
Отсюда, дифференцируя s раз по X, выводим
dPjs)(\) dP<s) (X) _
дп дп
дР<*>(\) дP<s~l)(X)
= -2Х-------------- 2s -- -----1 -2D<*>(\)f. (141,)
дп дп
При X = X' функция Р(К) и несколько ее производных по X могут, вообще
говоря, обратиться в нуль. Допустим, что первая необращающаяся в нуль
производная Р(Х) по X есть производная порядка s + 1, так что
/>(Х') = />'(Х') = />"(Х')= ... =/>(,)(Х') = 0, Ри+1\\')Ф0. (142)
*) Как показано выше (пп. 26-28),определяющий функцию V ряд (92) сходится
(равномерно во всем пространстве) при 1X1 <1. Равенство (138) дает
аналитическое продолжение функции V. {Прим. ред.)
Допустим для простоты, что X' есть полюс второй кратности. При этом
необходимо
D(X') = D'(X') = D"(X')= ...=
= D(,)(X') = D(,+1 >(Х') = D(,+2)(X') = О,
?>(,+3>(X')*0. ^142|)
Полагая в уравнении (141,) X = X' и принимая во внимание условия (142) и
(142,), получаем, заменив s на s +1 и s +2,
(143)
a/>p+l)(V) Э/>^+1)(Х') _ Э/><*+|>(Х')
дп дп Ъп
дP,i*+2>(\') _ дР(/+2>(\') = _ Э/><*+2>(Х') _
дп дп Ъп
а/"(,+ |)(Х')
- 2(s + 2) г; .
Ъп
Так как по свойствам потенциала простого слоя
ЭР<*>(Х) ЪР}*\\) ЪР^К)
Ъп Ъп Ъп
при всяких s и X, то на основании этого соотношения можем представить два
предыдущих равенства в виде
, Э/>(,+ ,)(Х') , Э/"<*+,>(Х')
(j +Х') -L--У-- -(1 -X') ----------------------- =0,
Ъп Ъп
, дР**+2)(У) , Э/><,+2)(Х') ЭР(,+ |>(Х')
(1 + Х) ----- -(1 - X) -- =-2(s + 2) ---------------------------
дп дп дп
Умножив пёрвое из этих уравнений на P(s+ 2) (X'), второе - на P(s+1)(X'),
вычтя один результат из другого и проинтегрировав затем полученное
уравнение по всей поверхности (5), получим при помощи известных формул
Грина
-2//>(,+ |)(Х') --^--</s = 0.
Эи
Отсюда в силу первого из (143) и формул преобразования Грина выводим
г,+ п , / э/>"(,+ ,)(Х') Э^+,)(Х') \
//>(,+ ,)(Х )( - ------------------------------ lJs =
\ Ъп Ъп /
/ Э/"(,+ |>(Х') \2 .-/Ц-?------------------) "7-0.
421
Отсюда следует, что /*(1+1 * (X') = 0 *), т.е. Р(\) и D (X) должны иметь
следующий вид:
Р(\) = (X - \'Y+2 Pt(\), D(\) = (X - X')f+3 Z>,(X).
где Pi (X) и D\ (X) суть функции от X, не обращающиеся в нуль при X = X'.
Функция V, следовательно, приводится к дроби К = /,,(Х)/(Х - X')Z), (X),
где/>,(Х') и/),(Х) не равны нулю. Отсюда следует, что X' есть необходимо
простой полюс функции V.
Таким образом, доказано, что функция V не может иметь полюсов второй
кратности. Очевидно, что полюсов выше второй кратности и подавно не может
существовать.
Предложение, высказанное в начале пункта, доказано. Поэтому в выражении
(140) для V мы можем подразумевать под D(\) полином от X, все корни
которого простые, а под Р(\) - функцию от X, не обращающуюся в нуль для
значений X, служащих корнями полинома D(\).
37. На основании сказанного выше мы можем представить функцию Р(\) в
виде
1 р(Х)
/>(Х)= -- / П-L dSi 2ir г
(144)
причем уравнение (141) в силу известных свойств потенциала простого
*) Из равенства (141) немедленно следует, что функция V может иметь
только вещественные полюсы.
Действительно, пусть - полюс функции У. Тогда D(k') = 0 и можно считать,
что потенциал простого слоя Р(\') не равен тождественно нулю. Как
