Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
мится к определенному пределу В > 1 при беспредельном возрастании чис-
п / п \
ла к. Поэтому при всяком к Rk+ - <B[R0+ - I. Это неравенство по-
т \ ml
называет, что Rk никогда не превосходит некоторого определенного поло-
/ п \ п
жительного числа /,, = B[R0 + - I .
V т 1 т
*) При к > 2;= max 1/1, Я, = max Ip, I. Очевидно, что при всех к
справедливы неравенства max Ip* I < Я*. {Прим. ред.)
416
Итак,Я*-| < Li, Rk-2 < L,. При помощи этих неравенств выводим из (126)
\<Lok (о < 1), (128)
где L = Li (A i + А2) + п есть определенное число, не зависящее от к.
34. Неравенство (128) по внешнему виду совпадает с неравенством,
выражающим принцип Робена (неравенство (60) гл. II), но в рассматриваемом
случае оно доказано не для какой угодно непрерывной функции /, а для
функции / вида
/=а,/, + а2/2 + ... + apfp, (129)
где функции /* (к = 1,2 р) произвольны, но число р и постоянные а*
выбраны определенным образом.
Очевидно, что число р коэффициентов ак можно выбрать так, что
одновременно с теми линейными уравнениями, которым должны удовлетворять
постоянные ак для того, чтобы имело место неравенство (128)будет иметь
место еще и следующее равенство:
/ fds-ai / ftds+a2 f f2ds+ ... +apf fpds = 0. (129,)
При этом исходная функция f в равенствах (93), последовательно
определяющих все функции Ук, будет удовлетворять всем условиям, при
которых справедливы рассуждения п. 18 гл. II. Повторив дословно эти
рассуждения, из неравенства (128) выведем следующее:
Ip* | < L'ok, (130)
где L' - определенное число, не зависящее ни от А:, ни от положения точки
р на поверхности (S).
Неравенство (130) показывает, что при сделанном выборе функций f ряд
f + Хр, + Х2р2 + ... + Х*р* + ...
сходится абсолютно и равномерно во всех точках поверхности (S), пока I X
| < l/о. Поэтому, если положим
р(Х) = - - (/ + Хр, + Х2р2 + ... т \крк + ...)
2п
то можем писать
Vi +\V2 +\2V3+ ... +\k~lVk + ... = / ds,
r
т.е. функция V, определяемая рядом (92), представляется в виде потенциала
простого слоя при всех значениях X, модуль которых не превосходит числа
(ем. равенства (125,) и (117,)) 1/а = 1/т|/3 =А1/3 =А'. Так как число А
может быть сделано сколь угодно большим (п. 29), то таковым же свойством
обладает и число А'.
Сопоставляя полученный результат с предложением п. 29, приходим к
следующему выводу.
Теорема. Положив в равенствах (93)
/ = а,/, +а2/2 + ... +apfp,
где fkQi= 1.2 р) суть произвольные функции координат точек
417
верхности (S). непрерывные на этой поверхности, можно распорядиться
выбором числа ри постоянных ак так, что ряд
V=Vi + ХК2 + X2 Н3 + ... + Х*_|1'* + ... (131)
будет сходиться равномерно во всей области (D) (включая и точки
поверхности (iS), ограничивающей область (D)) и представляться в виде
потенциала простого слоя при всех значениях параметра X модуль которых
меньше или равен наперед заданному числу А'. При этом потенциал простого
слоя V, изображаемый рядом (131), будет действовать (а не только
формально) удовлетворять на поверхности (S) условию
д V,- dVe dV
---------------- - 2Х---- -2/ на поверхности (5)*). (132)
дп дп дп
35. Будем теперь подразумевать под f произвольно заданную функцию точек
поверхности (5) и составим по формулам (93) функции Vk (* = 1, dVk
2,...) и pk - --------- (* = 1,2, ...). ПопоЯсим затем
дп
fi = "of + "iPi + ttjPj + ... + apPp (133)
и составим функции
1 /i , 1 , ds
V[=- - J - ds, Vi =- -- fp[ -
2 it r 2 it r
1- , ds dV'k
Vl=- - SPk-x ,Pk=~zjL (* = 1,2,...)
2 it r dn
Имеем
У\ ~ Oo^i + "i V2 + ... + ttp^p+i,
V\ = oto V2 + ttj V3 + ... + apVp+2,
Vk+i = cioVk+г + otj Vk+2 + • • • + ap Vk+p+i-Рассмотримряд
V' = V\ + XKi + X2 Vi + ... + x*-1 V'k + ...
Положив
?/, = V2 +\V3 + X*V4 + ...,
U2 = V3 + XK4 + X2 vs + ...,
(134)
Up= Vp+i + XKp+2 + X2 Fp+3 + ...,
*) В этой теореме система функций/, fp, вообще говоря, не обязана быть
линейно независимой. В случае, когда эта система линейно зависима,
функция / может оказаться тождественно равной нулю (при <*}+... + оф Ф
0). Тогда, конечно, и построенный потенциал простого слоя V тождественно
равен нулю. {Прим. ред.)
418
получим
V'= <*oV + axUx + a2U2 + ... + apUp, (135)
где
v=vx + хк2+х2к3 + ... +x*-'n+ ...
Очевидно,
Ux - T {У- Ух),
Л
= У2), (136)
Л
t/p-" (t/p-. -кр).
Переписав уравнения (135) и (136) в виде аоК+ ахих + a2U2 + ... +
V - X (/, = К,,
t/i - X и2 = У2.
получим
U ......
У =
UP_I-\UP =УР.
систему р + 1 линейных относительно р + 1 величин У, U\, Up уравнений,
разрешая которые относительно V, находим
V, or,, Ух, -X,
"2,
о.
О, о.
-X
Оо. "1. "7.
1, -X. 0. .... 0
0, 1. -X 0
0, 0. о,.. 1,-*
(137)
Выберем постоянные а* (к "= 0, 1, 2,..., р) так, чтобы соблюдались все
условия предыдущего пункта. При этом У' представится в виде потенциала
простого слоя для всех значений X, модуль которых меньше или равен А '.
Числитель правой части равенства (137), который обозначим через Р(к),
представится также потенциалом простого слоя для указанных значений X и в
