Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
иметь Ак I Vk | < С, где С есть определенная положительная постоянная,
или
\Vk\ < Стк, (117)
где
г=ЦА (117,)
есть, очевидно, правильная дробь *).
Неравенство (117) можно, как легко видеть, считать справедливым при
всяком к.
При помощи неравенства (117) легко доказал", что при сделанном выборе
функции f каждый из потенциалов Vk (k= 1, 2, 3, ...) может быть
представлен в виде потенциала двойного слоя во всех точках области (D),
ограниченной поверхностью (5).
Положим
М*=(Р*~ Р*+,) + (Р*+2- Р*+3)+ ... +(Й*+2р- Й*+2р+,)+ ...
(118)
Неравенство (117) дает
I Vk+гр ~ Р*+2#>+1 I < 2Ст*т2' (р = 0,1,2, ...). (118,)
Отсюда следует, что ряд (118) сходится абсолютно и равномерно на
поверхности (5).
С другой стороны, ряд
1Й*1 + 1Р*+|1 + ... + 1Й*+2#>1 + 1Й*+2р+,1 + ...
также сходится равномерно на поверхности (5). Вследствие этого можем
*) Число А > 1 можно считать, например, натуральным. (Прим. ред.)
413
\Ик\< 7 т*=С,т*. (120)
писать
К* = Й*-(К*+| - Й*+2)-(Й*+з - Й*+4) + ..., (119)
причем, в силу (117) и (118i),
2 С
Составим теперь потенциал двойного слоя
1 cos
Uк = - / Рк -Г" Л-2я г2
На основании известных свойств этого потенциала получаем Uk,t = Uk+ цк на
поверхности (5). (121)
Но, в силу (118) и (103),
uk=(vk+i -й*+2)+(Р*+3 к*+4) + ....
Сопоставляя это равенство с (121) и (119), заключаем, что Uk, i= Vk~ Vk.i
на поверхности (5), т.е. в силу известных свойств гармонических функций
K* = i/* внутри (5).
Обозначая через Р точку, лежащую на нормали п к (5) в некоторой ее точке
р на расстоянии 6 от этой последней точки, и придерживаясь принятых в гл.
Т обозначений, получаем
/ ЭК* \ / bUk \
(17), I -И, <122)
- равенство, которым мы воспользуемся в следующем пункте.
31. Применим первую теорему Ляпунова (гл. 1, п. 26) к потенциалу
ЭК*
простого слоя Vk. Полагая, как и раньше рк -------- и обозначая через
рк
дп
и рк значения этой функции в двух точках р' и р поверхности (Л1), лежащих
на расстоянии г друг от друга, а через Rk - максимум Ip* I на поверхности
(S), получаем
Iр'к-Рк I < QRk-1 г1'2.
Применим теперь неравенство (106) гл. 1 к потенциалу
1 1
у к = - - fPk-1 -ds.
2 я г
В данном случае нужно положить (см. пп. 31 и 32 гл. 1) У = р*, -2яр° = =
р*_ |, До =/?*_!, N = QRk-2. 0- 1/2. Таким образом, получим
К4Н
(Рк ~ Рк- I )
I \ on f р 414
где Qx и Qi есть определенные числа, зависящие только от вида поверхности
(S). Отсюда, в силу равенства (122),
ip* -p*-i I < "?2Я*-а+<?|Л*-0в,/2 + |(~-) |. (123)
32. Рассмотрим потенциал двойного слоя Uk. Повторив рассуждения п. 35
гл. 1, получим
_ / 1^1 \ = 1 - ^
V Ъп }Р ~
Отсюда
Г -- (cos д + 3 cos v?cos Ip)ds *). (124)
p 2n r3
I 2 (pk) ds
. f - . (125)
p 1 it r
где через (pk) обозначен максимум I pk I на поверхности (5).
Построив опять, как и в гл. 1, цилиндр вращения радиуса R <D с
осью,
направленной по нормали п к поверхности (5) в точке р, и употребляя при-
нятые там обозначения, получим
ds ds I da
5 - + f- >
ri ri ri
причем будет иметь место неравенство ds | S
которое получится из (88) гл. 1 (п. 27), если в нем заменить z на 5 и
положить р = 1, и равенство da
6 / -- = 2тг + 8Q,
г*
вытекающее из равенства (97) той же главы (п. 30), если в нем е заменить
на 5. Из сказанного следует, что произведение
ds
< * "
г*
где К' есть определенное число, каково бы ни было число 5.
Неравенство (125) приводит, таким образом, к следующему:
(Мк)
К?)
< *
P. I *
откуда, в силу (120),
bUk \ I т* т*
1 < КСх = Кх----------
Н 8 8
\т
*) В рассматриваемом случае под знаком интеграла вместо д* - где д? есть
величина, соответствующая д° формулы (116) гл. 1, пишем просто д*, что
возможно, ибо интеграл правой части равенства (124) равен нулю, если
заменить в нем да на д*.
415
Так как 8 есть величина вполне произвольная, то можем положить 8 =
*2к
= ci 3 , где с есть некоторая постоянная; положив затем
о = т'/3, (125,)
I/ bUk \ I ^
получим I -------- I <------ (г = по , где п есть число, не
зависящее от
I V дп 1 р I с
к, и 6*/2 = у/с о*. Сопоставляя зто равенство и предыдущее неравенство с
(123), получаем
Ip* -Pk-i I < +Л2Л*_2 +и)о*, (126)
где /11 и /12 суть две постоянные, одинаковые для всех точек поверхности
(5) и не зависящие о7 к.
33. Неравенство (126) дает
Л* = max Ip* I < Л*_, +(/1,Л*_, + A2kk_2 + п)ок. (126,)
Здесь под Л*_ | и Л*_2 подразумеваются
max lp*_, I и max 1р*_21 (127)
на поверхности (5).
Неравенство (126,) еще более усилится, если в нем под Л*_, и R * _2
подразумевать величины, большие чем (127), причем можем положить
Л* =Л*_| + 04,Л*_, +Л2Л*_2 +и)о* *).
Введенные таким образом числа Rk будут удовлетворять условию Л* _ | < Л*
при всяком &, вследствие чего получим
Л* < Л*_|(1 +так) + пак, где положено ш = А, + Л2. Последнее неравенство
можно написать так:
п / и \ .
Л* + - <[Rk-i + - 1(1 +шо*). т \ ml
Отсюда выводим
Rk + - < ( Л0 + - )(1 +шо)(1 +Ш01) ... (1 + ток). т \ ml
Так как о< 1, то произведение (1 +шо)(1 + то2)... (1 + ток) стре-
