Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
поверхности (S).
Эта теорема была доказана мною в сочинении ''Общие методы решения
основных задач математической физики"*) для поверхностей, допускающих
преобразование Пуанкаре. При помощи это теоремы доказано мною в
упомянутой выше заметке в ''Comptes Rendus" (27 mars 1899) существование
особого рода фундаментальных функций, полная теория которых изложена
затем в последней главе диссертации ''Общие методы решения и т.д."
(Харьков, 1901).
Приведенное здесь доказательство устраняет существенное ограничение
общности теоремы, устанавливая ее справедливость для всех поверхностей
Ляпунова, независимо от преобразования Пуанкаре.
23. Применим лемму Зарембы к случаю, когда f есть гармоническая функция
внутри данной поверхности (S), удовлетворяющая условию
а <1 имеет вид
<р = ei it + в2 "л + ... + ар<рр
и подчинена единственному условию fipds- 0.
Мы знаем (гл. 11), что для всякой поверхности, к которой приложим принцип
Робена, функция / представляется в виде потенциала простого слоя. Мы
докажем впоследствии, что это будет справедливо для любой поверхности
Ляпунова, пока же, вообще, будем рассматривать поверхности, для которых
решение задачи Неймана (функция /) представляется в виде потенциала
простого слоя **).
Применив к рассматриваемому случаю теорему предыдущего пункта, получим
при соответствующем выборе числа р и постоянных ак:
(89)
(89.)
Но, по теореме Грина и на основании (90),
откуда
*) Харьков, 1901, стр. 63.
**) См. формулы (77), (76, ) гл. И. (Прим. ред.)
404
или
/ f2 ds I f 2 ( ) dr > v / /2 ds' j yj JV ds.
Следовательно, в силу (89,), f f2ds I fq>2ds < Q2lq213.
Таким образом, прямым следствием предыдущей теоремы является следующая
Теорема. Пусть
<р = а,<р, +а2<Р2 + • • • +<*рЧ>р
есть функция, непрерывная на поверхности (S) и подчиненная условию f>pds
= 0,a f есть гармоническая функция внутри (5 ), удовлетворяющая уравнению
Э/,
= Iр на поверхности (S )
дп
и представляющаяся в виде потенциала простого слоя: Задав сначала число
q, молено затем подобрать число р и коэффициенты а* в выражении так, что
будет иметь место неравенство вида
/ )'2 ds / f<p2ds < Q2lq2f3,
где Q2 есть число, зависящее только от вида поверхности (5).
24. Теперь мы можем приступить к решению следующей важной задачи,
которое позволит нам распространить все полученные выше результаты на все
поверхности, удовлетворяющие условиям п. 17 гл. I:
Найти потенциал простого слоя V, удовлетворяющий условию
ЭК, дУе ЭК
--------------- - 2Х------2/ на поверхности (S), (91)
дп дп s дп
где X есть некоторый параметр, a f - заданная непрерывная функция
координат точек поверхности (5).
Решение этой задачи позволит нам распространить принцип Робена на все
поверхности Ляпунова и в то же время приведет к теории фундаментальных
функций, подробное изучение которых с их различными приложениями составит
предмет следующего тома сочинения.
Будем искать решение уравнения (91) в виде ряда
К= К, +ХК2 +Х2К3 + ... +Х*К*+1 + ... (92)
Удовлетворяя условию (91), получим следующие уравнения для определения
функций Vk\
If 1 эк*_, 1
Ух = - г- /-*.•••. У к = - -Г- / (93)
2я г 2я дп г
т.е. те самые функции, которые были введены нами в п. 6 гл. II (уравне-
ние(19)).
405
Рассмотрим следующие интегралы:
I ЭК* \г , I ЭК* \г , у;-/* -)dr',
(94)
dV" dV" dV" ЭК"
Jm."=f2 -1J-dr. J'm.n=f2 -Г"1" - - dr\
ox ox ox ox
Wk = Jk+Ji (94,)
Из равенств (93) на основании известных свойств потенциала простого слоя
выводим
ЭК*. ЭК*, ЭК*_,
-bi. - = - 2 -- (95)
дп дп дп
и
ЭК*.,., эк*_, эк*_2 эк/_,., ЭК*_, ЭК*_2 _ ч
------ - , - ." т r .(Vj | )
дп дп дп дп дп дп
Отсюда
^ ЭК*_,ЭК*.| дп дп дп
Сопоставляя зто равенство с (95), получаем ЭК*.,- _ ЭК*,, = _ / ЭК*_,.,-
+ ЭК*_,., \ дп дп \ дп дп Г
Применим к интегралам У*.* + , и У*.*+, преобразования Грина. Получаем
ЭК* + | , ЭК*,-
Л.* + 1=/К* -ds = fVk+l --ds.
дп дп
ЭК*+1 , ЭК*,
^,*+i=-/K* -~'-~ds = -fVk+l -ds, дп дп
откуда
г' г - гг I ЭК* + | < . ЭК*+'-' \,
•'*,*+1 - •'*.*+1 -J К* ^ -------------- + - ¦ Jds -
/ ЭК* , ЭК*, \
"'•Ч-i^ + ,97'
Из зтого равенства при помощи (96) выводим
,< , -'Ж, / э^*+2." ЭК*+2, ^ J
¦'k.nti - n.Htl '/К*| ~ ~~Ьп )
Но то же преобразование Грина дает
/ ЭК*+2 , ЭК*+2 , \
Следовательно,
У*,*+1 -- У*,* + 1 = Л,* + 2 + j'k,k + 2- (98)
Применим теперь преобразование Грина к интегралу Jk +1 + J * +1. По-
лучаем
, . е ж7 I ^*+1.' ЭК* +1 ,е \ ,
Jk* 1 + Л+1 "/ ^*+1 I ^ Jds,
откуда, в силу (96),
F ,1 Л ,, I ^Ук,1 ЭК*,, \ ,
Jk * 1 + Jk * 1 = ~ / Vk * 1 I ^ + ^ J ds,
т.е., на основании (97),
^*+1 = Jk* 1 + У*+1 = Jk,k* 1 - У*,*+1 (99)
и в то же время, в силу (98),
^*+1 = Jk* 1 + Jk* 1 = Jk,k* 2 + Jk,k*2 = эк* ЭК* + ,
= /2---- dT. (100)
Эх Эх
25. Равенство (99) дает
Л+1 + 1) ~ Jк,к* 1 - 2У* * + |</*,*+1 + Jk.k* I •
Так как на основании неравенства Коши - Буняковского
Jk,k* 1 < JkJk*\< J'k,k*\ < У*У* + 1
и, кроме того,
2n/у*У*+1 JkJk+\ < JkJ'k*i + У*У*+1.
то
(У* + 1 "*¦ Ул + i) ^ У* У*+1 У*У*+1 "*¦ У*У* + 1 "*¦ У*У* + 1 =
