Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
можно доказать ряд других неравенств, имеющих важные применения, в
особенности в теории фундаментальных функций.
Предположим, что в интеграле (1) (п. 4) под / на поверхности (5)
подразумеваются значения, которые принимает на этой поверхности некоторый
потенциал простого слоя (или, общее, функция, обладающая свойствами
потенциала простого слоя). Введем следующие обозначения:
/ ЪИ \2 ЪИ Э/
K(H) = fX[ - ) dT, K{h.f) = S^ - -^dT.
\ Ъх / Ъх Ъх
L{И) - f H2dT, L(H,f) = fFf JT, (84)
М(П) = f И2 ds, M(F, f) = i Ff ds,
и предположим, что функция / выбрана так, что все фигурирующие в этих
формулах интегралы имеют определенный смысл.
Приняв во внимание равенства (2) и (4), получаем при помощи
преобразований Грнна
K(F) + p2L(H) = M(H,J)> О,
K(F.r) + H2W.f) = Mif).
Применив ко второму из этих равенств неравенство Буняковского -Коши,
получаем
M2{f)<[K(F) + p2L(F)J [K{f) + p2Hf)\,
откуда, в силу первого из двух предыдущих равенств,
M2(f)<M(F,f) [K(f) + P2L(f)]<
<[K(f) + p2Hf)] [M{F)M{f)\42. (85)
Из равенства (1),(п. 4) выводим
1 /1е-"г с-"г
И2 < г ;---------------ds f ds.
(4я) г г
Так как, в силу (7), ,
1 с"г А
- S ds< - ,
4 я г р
ибо в данном случае М = I, то
A f2 с-"г И < -------- /-------ds.
4пр г
401
Отсюда ^ ^
fF2 ds = M(F)< - f f2 ds = M(f).
Ц p2
При помощи этого неравенства приводим (85) к виду
М(/)<- [K{f)+H2L(f)\. (86)
Предположим, что f=alfl + a2f2 + ... + ctpfp,
где Д суть функции того же характера, что и /, а а* - произвольные
постоянные.
На основании леммы Зарембы (предыдущая гл., п. 40) мы можем, задав
произвольно число </, подобрать затем число р и коэффициенты ак таким
образом, что будет
/-(/)< -Цтг ОД-
mq 13
При этом неравенство (86) обратится в следующее:
А / р2
М(Л< - (i+ )*(Л-
р \ mq2,3 Г
Здесь р - произвольное положительное число, которым можем распорядиться
по усмотрению. Положив p = q,/3, получим
откуда, приняв во внимание обозначения (84), выводим
WM ?)'*¦'*( itH(tm)*'''
Получаем следующую теорему.
Теорема. Пусть f есть линейная однородная функция некоторого числа р
произвольных параметров а*:
f =Л|/, +a2f2 + ... +apfp,
где fk суть функции, обладающие свойствами потенциала простого слоя.
Задав произвольно число ц, всегда можно распорядиться выбором числа р и
коэффициентов ак так, что будет иметь место неравенство вида
//2*Д/2 ( Jr + /s( t/т'J < Nlq'l\ (87)
где N есть постоянная, зависящая только от вида поверхности (5).
Доказанная теорема справедлива для какой угодно поверхности Ляпунова.
Аналогичная теорема была указана мною впервые в 1899 г. в заметке ''Sur
l'existencc des fonctions fondamentales", а только что доказанная -
402
в заметке того же заглавия в 1901 г. Более подробное доказательство
опубликовано в упомянутом выше мемуаре "Sur les problemes fondamentaux
etc."*). При помощи этой теоремы мы дадим впоследствии строгое
доказательство существования фундаментальных функций. Jle Руа для всякой
поверхности Ляпунова.
22. Доказательство предыдущей теоремы основано только на лемме Зарембы
(п. 40. гл. IV), которая будет справедлива при всяком р, удовлетворяющем
условию р>пг + 2q + 1, где л есть целое число, подчиненное одному
неравенству п>ц1!3.
Задав определенным образом q и затем л, положим р' = пг + 2q + 1, а зяр
примем число р=р' +р", где р" - какое угодно целое число.
Неравенство (87) будет иметь место, каково бы ни было целое
неотрицательное число р", коль скоро подчиним р коэффициентов ак
совокупности р' - 1 линейных однородных уравнений, правило составления
которых указано при доказательстве леммы Зарембы. При этом остальные р" +
1 коэффициентов останутся произвольными. Этими последними, выбрав
соответствующим образом число р", на основании фундаментальной теоремы
Пуанкаре - Зарембы, можно распорядиться так, что будут соблюдены
неравенства
(88>
где число т определяется равенством (831).
Подчиним произвольное число q условию q1/6 > 4А. При этом получим
т'<з( 1 + ^ = ш", где т" есть число, зависящее только от
вида
\ 16тА2 /
данной поверхности (S). При этом из (88) получим
Так как при указанном выборе постоянных ак будет одновременно соблюдено и
неравенство (87), то будем иметь
/ f2ds jj z( У- ) dr < N(l +m")lq1<3 =Qlqll\
где Q есть число, зависящее исключительно от вида поверхности (5).
Получаем следующую теорему.
Теорема. Пусть
f = <*,/, +a2f2 + ... + Ор/р,
где fk суть функции, обладающие свойствами потенциала простого слоя, ак -
пока неопределенные постоянные. Задав произвольно целое число q, можно
распорядиться числом р и коэффициентами ак, подчинив их системе
*) W. S t е k 1 о f Г. "Sur l'existence des fonctions fondamentales"
(Paris, Comptes Ren-dus de ('Academic des Seances, 27 mars 1899 et 9
septembre 1901); ем. также указанный мемуар (Annales de l'Ecole Normale,
3 se'r., Т. XIX, novembre 1902, p. 495).
403
р - 1 линейных однородных уравнений, так, что для всякой поверхности
Ляпунова будет иметь место неравенство вида
где Q есть положительная постоянная, зависящая только от вида данной
