Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
= -/Ф* * ' ds=Vlk_x >0. (71)
Ъп
Следовательно,
^J* < Kj*+I Угк-у (72)
396
Применив, наконец, неравенство Буняковского - Коши к интегралу
+ц2ФкФк*1^т\
получаем
>?*¦, < Кк У'2к + 2- (72,)
Неравенства (72) и (72,) дают К"+2/К"+|.
Так как эти неравенства справедливы при всяком к, то
VolVL, < V\ I Vq < V\!V\ < < V'k+ilV'k < ... (73)
18. Положим теперь, подобно тому, как в п. 15,
r/v Э*/+| I ] I I \
и применим к этому интегралу и интегралу V'kJ формулы Грина.
Получим, при помощи (68) и (69),
Vk,i ~~1Фк - ds =
Ъп
'1ФЛ~,---------------------------------------------------------------<74)
Затем (ср. п. 15)
, / Wk.i ЪФк,< \ , _ , ,
км+1=/*/+1( ------------------А'
и;_,./+, =-/Ф/+, й*.
0/7
т-е. Г*/+, = К*и,в силу (74),
(75)
С другой стороны, тс же формулы Грина и уравнения (68) и (69) приводят к
равенствам
•V '(* -тг -ТГ1 *
,/~ Э^*-1 . 2 , , \ "
И*_|./+| = Д2 -- +Ц*Фк-1 Ф/+1 jdr =
= -/Ф/+1 г ds,
Ъп
откуда, на основании (75),
, , Wk.e , , , Эф*_,<г
/ Ф/ -Т ds = / ф/+, ----------------- ds.
Эл Эл
397
Отсюда, вообще, при всяком s < к
. . Чк.е . , . Чк-s.e .
f Ф/ г ds = } ф/+, - --------- ds.
дп дп
Положив здесь / = 0 и к = 2s при четном к, получаем
Эф*е Эф,е
f*"-rbl-ds=fts-^<ls=-V'is = -V,k. дп дп
Положив к = 2s - 1 при к нечетном, находим
Эф*е Эф- , е , ¦ ,
/Фо сЬ = /Ф, - * ф = - ^,-1 =- к;. (76)
Э" Э"
Таким образом, равенство (76) справедливо при всяком к.
19. В п. 10 было доказано, что ряд
со" = - ? X* (77)
* = о дп
сходится равномерно на поверхности (5), пока 1XI < 1- + - j.
Умножив (77) на ф0 ds и интегрируя результат по всей поверхности (5),
получим, приняв во внимание (76), следующий ряд:
оо Q Ш. оо
/ы"Ф0<&=- ? х*/Ф0-- ds= е х*г;,
* - о дп к = о
радиус р | круга сходимости которого не менее р, радиуса круга сходи-
У'к
мости ряда (77). Но Pi = lim - ------ . Следовательно
Ук +1
Ит > р >1 /(-+-у
*-- Г*+, I \ 2 ц I
откуда, на основании неравенства (73),
Положив в (71) к = 0, получаем V'_, = Г0 + Гё- Следовательно, 1 +
Уо //1 \
+ -- > 1/1 - + - ), или
Vo I V 2 ц I
кж>( i.-i )/(!¦,!). (77,,
Положив в первом из уравнений (67) со равным функции того же обозначения
п. 12, получаем
'(!-т)/(7"Н
398
Сопоставляя это неравенство с неравенством (66), получаем
(т-7)/(т*т)<л//1<(Г7)/(7-7)' (78)
а неравенства (65 () и (771) приводят к следующей теореме.
Теорема Зарембы (вторая). Какова бы ни была функция со, непрерывная на
поверхности Ляпунова (5), в выражении обобщенного потенциала простого
слоя
1 е~*г
и = --- / со -- ds,
4я г
всегда имеют место неравенства
(7т)/(т-7Ж,6)'-
где А есть определенная постоянная, зависящая только от вида поверхности
(5), а д - положительное число, большее 2А.
20. Возвращаемся к формулам п. 13. Предположим, что плотность iр
потенциала простого слоя V задана в виде
<p = at<pi +а2ч>2 + ... +ар<рр,
где Iрк - функции, непрерывные на поверхности (5), а ак - некоторые
постоянные. Потенциал V представится в виде
K = otiUi + а2и2 + ... +apvp,
где и к суть также потенциалы простого слоя.
На основании леммы Зарембы, доказанной в п. 39 предыдущей главы, мы
всегда можем, задав произвольно число q, выбрать затем число р и
постоянные ак так, что одновременно будут соблюдены следующие
неравенства:
/1 /'1
Т < ---2/3 ' 7 < 2/3 • (79>
У mqi,s J mq '
Применим к интегралам Л и R' (равенства (511) и (52)) неравенство
Буняковского. Получаем
R2 < д2/Л, R < д2/,
(80)
R'2 < д2/'*', R'< д2/'.
Так как R и R' положительны, то нз (522) следует, чтоУ| < У + д2/,
У', < У ' + д2 /' и, на основании (79),
/1<у(|+^-)' ¦,:<г(| + 7?")' (8,)
399
С другой стороны, в силу (80) и (52,),
Jt > J, J\ > J'.
Эти последние неравенства и (81) приводят к двум следующим:
Отсюда при помощи (78) выводим
или
j'<m'J, J < m'j',
(82)
число совершенно произвольное, подчиненное единственному условию ц > >2А.
Положив, напримерц2 = ql/3 и выбрав q достаточно большим, удовлетворим
предыдущему неравенству, а для т получим выражение
т.е. число, зависящее только от вида поверхности (S), ибо таковы же числа
т и А, и от произвольно взятого числа q.
Выбирая q достаточно большим, можем сделать число т сколь угодно близким
к единице.
Неравенства (82) доказывают следующую теорему.
Фундаментальная теорема Пуанкаре - Зарембы. Пусть V есть потенциал
простого слоя, представляющийся в виде
Р = а, У, +а2 V2 + ... +ctpVp,
где Vk(k- 1, 2,..., р) суть заданные потенциалы простого слоя, а ак (к= =
1, 2, ..., р) суть некоторые постоянные. Задав произвольно целое число q,
всегда можем выбрать затем число р и постоянные ак так, что будут иметь
место неравенства вида
(83)
где число m имеет вид
m' = I 1 +
)
(83.)
400
а ти А суть определенные постоянные, зависящие от вида поверхности (.V).
Число m при достаточно большом q (и соответственно р) может быть сделано
сколь угодно близким к единице.
Неравенство (83) справедливо для всякой поверхности Ляпунова.
21. При помощи функции F п. 1 (обобщенный потенциал простого слоя)
