Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 146

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 159 >> Следующая

получим
7, J.77* f <Ы>к-1.1
U2k + U2k = fsfik г ds =
on
=;(21>7 = >0-
При помощи этого равенства неравенство (55) приводится к виду
U\k ^Чгк-1 Чгк+1 ¦ (57)
Заменив в (56) А: на А: + 1 и применив к полученному таким образом
равенству неравенство Буняковского - Коши, найдем
f Э** Э**+| . 2 \ , 12 ^
^2*+| =| /( 2 - gj- +И2*к <Ak+i )(1т\ <
т.е. при принятых нами обозначениях
Ulk+i ^ Угк Угк + 2- (571)
Неравенства (57) и (57,), справедливые при всяком целом
А;, дают
ViktUik-i < U2k+\IUik < игк+г/Ь'гк* i-Эти неравенства приводят к
следующим, аналогичным неравенствам Шварца*):
tf0/?/_, < UJU0 < U2/U, < ... < Uk+ilUk < ... **)• (58)
15. Положим
и применим к этому интегралу и интегралу Ukj (равенство (54,)) формулы
преобразования Грина. Учитывая равенства (54), получим
ty/d , _ , I Э*Я/+1./ э*/+1 ,<• \ , btPk,i .
IV,-/ft - й-/л( -JJ- - -j;- )*-/",- А
1/г.,., -/*.( )*-/*, А (59)
\ дп Ъп f Ъп
т-е- Uk.i = U'kj+ 1 •
*) См. часть I сочинения, гл. V, п. 14.
**) Здесь и далее t/_, = U0 + U'" = f <fi" ыds. (Прим. ред.)
393
С другой стороны, те же формулы Грина и равенства (54) дают _ Г /
Ъ*к'е\л-с Ък-1,1
UkJ" =/^/Ч1 V ~дп~ ~to~)d5~S'Pi"
ds,
\ дп дп / ' дп
/ Ъфь _ I Э<?м-1 \
U к
- г{ ъ °*к -1 <*Pj+1.2 \ J_ _
I./+1 "М g^ g^"" ^ \dr-
г Э*/+1,/ , "Лч
= / ^,Ч| Г ds = /**_, --------------- ds, (60)
Ъп дп
т.е. Uк j = t/ft _,,/+! и, следовательно, на основании (59) и (60),
. &Pk,i . с fyk-l,i , , .
fPj- ds = fpi+i ---------ds (61)
дп дп
- равенство, имеющее место при всякцх целых числах к и/.
Это равенство приводит к следующему:
дфк ,/• , . fyk-s.i .
/*,• --- ds =/*,+,- -------- ds,
дп дп
где s - какое угодно целое число, не превосходящее к.
Если к четно, то, положив k = 2s, / = 0, получим
, &Рк,/ с tys.i
/ "Ро -------ds = J - ds=U2s = Uk.
дп дп
Если к нечетно, то, положив к = 2s - 1, / = 0, найдем
. &Pk,i . &Ps-l,i .
/<Ро -г------ds = / *,- ds = u2s_l=uk. (62)
on on
Следовательно, равенство (62) можем считать справедливым для какого
угодно целого Л.
16. Рассмотрим ряд
' v т* ^к-' гатл
ш = 1 л ---------- . (63)
А = 0 дп
В п. 7 уже доказано, что этот ряд сходится равномерно, пока IX |
<
< 11^ - + - |. Следовательно, радиус р круга сходимости этого
ряда*)
,>,/(! .Д). <",
*) Под радиусом р круга сходимости функционального ряда (63) понимается
радиус наибольшего круга, внутри которого (для всех А е {I А I < р}) ряд
(63) сходится равномерно по (х, у, г) е S (он равен радиусу круга
сходимости ряда
? II j!fM. || кк). Далее употребляется также термин ''радиус (круга)
равного II Эл И с(5)
мерной сходимости" рассматриваемого функционального ряда. (Прим, ред.)
394
Умножаем (63) на y0ds и интегрируем результат по всей поверхности (5).
Получим, на основании (62),
ft0o> ds= 2 X* JVo ds= 2 \kUk. (65)
Ac = О дп Ac = О
На основании известной теоремы теории рядов заключаем, что радиус Pi
круга сходимости этого последнего ряда не менее р, т.е., в силу (64), р,
>
/(-К)-
" и к
С другой стороны, из (65) следует, что р, = lim .Следовательно,
Ac Uk + |
lim . ¦ Uk , > i *- Uk+l
К Т*7>-
Но, в силу неравенств (58), Uk/Uk+l < f/_,/С/0 при всяком к.
Следовательно,
(/../и, > 1/(7 * 7)
Положим в (56) к = 0. Получим f/0 + = U-1 • Предыдущее неравенст-
во на основании этого приводится к следующему:
04№>(т-т)/и+^У (65,)
Это неравенство имеет место, какова бы ни была исходная функция со в
формулах (53).
Положив со равным функции п. 12, получим, в силу (53,) и (50),
,66)
Знаменатель правой части этого неравенства есть величина положительная,
ибо р>2А.
17. Составим теперь ряд функций
1 е~"г
¦Ро = Фо = - / <*> ds,
Ait г
1 , Ъ*ое е~>" ,
,ф,= - -- / ---------------ds,
Ait dn r
(67)
1 , Wk-i,e e~>" ,
фк= - ---- /---------------------------------- ds.
Ait dn r
Функции фк как обобщенные потенциалы простого слоя удовлетворяют
уравнению
Афк - р2 Фк = 0 внутри и вне (5) (68)
395
и условию
Эф/u э фк>е Э ф*_|>е
Ъп Ъп Ъп
при всех значениях к, начиная с 1, а при к = 0 условию Эфо/ Эф0е
на поверхности (5) (69)
Ъп Ъп
= cj на поверхности (5). (69,)
Обозначим через У ки У'к/- интегралы, составленные из функций фк по
такому же правилу, как интегралы Ukj и Ukj (п. 14, равенства (54,)) были
составлены из функций ipk. Точно так же интегралы Vkj и V'kj при к=/
будем обозначать через У2к и У'2к, а те же интегралы при / = к + 1 -
через У2к+, и У'гк+\.
Совершенно так же, как и в п. 14, при помощи формул Грина и уравнений
(68) и (69) получим к
, , Wk.e , , , / ЭФ*+М ЭфЛ+, е \
Угк = - S Фк -- </s= /ф*( -----------------------------------------------
ids
Ъп \ Ъп Ъп /
Эф* + | /
Угк+, = /Ф* -а ' ds,
Ъп
, ЭфЛ+| е
Угк*\ =~/Фк ds. (70)
Ъп
Отсюда Угк = Угк + 1 + Угк+\-
С другой стороны (равенства (69) ),
, , Ъ*к,е , , , / Эф*+|,, Эф*+|<, \
-<*¦/*.( -л ?-)*-
-/(г
Отсюда при помощи неравенства Буняковского - Коши выводим
v?k <(P2* + Kj*)(K2*t2 + Kj*t2).
Но, опять в силу (69) и (70),
, , / Эф*,( Эф* е \
5ГГ'
Эф*-| с ,
Предыдущая << 1 .. 140 141 142 143 144 145 < 146 > 147 148 149 150 151 152 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed