Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 145

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 159 >> Следующая

Аф - ц2 ф = 0 внутри (5). (43)
Но выражение (37) функции F" отличается от (151) только тем, что в первом
у заменено функцией ц1 V. Следовательно, в силу (161),
AF"-h2F" = 0 внутри (5). (431)
11. Положим теперь
wi = F" - ф. (44)
В силу (43) и (431) получаем Ди"1 - д2 w 1 = 0 внутри (5),
Эи"1,-
а на основании (42) ------ = 0. При этих условиях формула Грина
дает
Эи
/ ? ( j dr + ц2 fw]dr = 0, т.е.
ч>1 = О, F" = ф внутри (5).* (45)
Рассмотрим значения функции Wi для точек пространства, внешнего
относительно (5). Равенство (44), (2) и второе из (16х) дают
Awi - n2Wi+ц2У = 0 вне (5), (46)
а на основании (45) и непрерывности функции Wi во всем пространстве
Wie = 0 на поверхности (S). (461)
Определив функцию Wj вне (5), полагаем
(47)
*) См. п. 7. {Прим. ред.)
389
Так как V есть гармоническая функция вне (S ), то, в силу (46),
Aui - u2V\ =0 вне (S)
и, в силу (46i) и (47),
vle = Ve на поверхности (5). (471)
Таким образом, найдена функция ut, удовлетворяющая уравнению (17) вне (S)
и принимающая на этой поверхности те же значения, что и данный потенциал
простого слоя V, для всякого значения положительной постоянной р,
большего 2А.
12. Нетрудно убедиться, что искомая функция и (п. 6) может быть
представлена в виде обобщенного потенциала простого слоя.
Функция Vi удовлетворяет вне (5) тому же уравнению, что и функция F' в п.
7, непрерывна со своими частными производными во всей области
, dvie
(D ), имеет правильную нормальную производную ------------ и в
бесконечнос-
Ъп
ти обращается в нуль по тому же закону, что и функция F', т.е. и,
обладает всеми теми свойствами, которые были необходимы в пп. 7 и 8 для
доказательства равенства (33). Если поэтому положим
д"1е
/ = (48)
Ъп
и повторим дословно рассуждения указанных пунктов, то докажем
существование функции 1
Ф = - / со ----------- ds,
4 л г
где под со следует подразумевать функцию, определяемую рядом (28), в
котором, равно как и в уравнениях (23),/' выражается равенством (48).
Применяя к рассматриваемому случаю равенство (33), заключаем, что
Ф = и1 вне (5)
и, следовательно, на основании (471),
Фе = Vi е = Уе на поверхности (5).
Но Ф есть функция, непрерывная во всем пространстве, равно как и
потенциал простого слоя V, причем, какова бы ни была функция со,
ДФ - ц2 Ф = 0 внутри (5)
и на основании сказанного
Ф/ = Vj на поверхности (5).
Следовательно, положив
1 р-"г
v = ----- /со -------- ds. (49)
4 я г
получим функцию и, удовлетворяющую всем требованиям теоремы 'Зарембы,
которая, таким образом, доказана.
390
13. Рассмотрим теперь следующие интегралы:
У = / = •/. =
•/'.=
Р =
Р' =
R =
R'=
/ ЭИ \2
(it) *•
2
V2 dr.
г -"(?)*
/' = / V2 dT ,
^ dT+n2fv2dr,
Jt'+д2 Ju2 Jt',
dV dw
2 - dr+ц fVwdr,
dx dx
ЭИ 3w1
2-----------dr + Д / Vw, dr,
Эх Эх
2 ( ~E~ ) dT+li2^w2dT'
2 ^ -g-^- j Jt' + д2 / w2 dr',
(50)
предполагая, что плотность *p потенциала И выбрана так, что все входящие
в эти формулы интегралы имеют определенный смысл.
Напомним, что функции И, и, whw, связаны соотношениями
v = И - w внутри (S),
v = V - IV, вне (5).
При помощи этих равенств и (50) получаем J, =J + д2/ + Я - 2Р,
J\ =У'+д2/'+Л'-2Р'.
(51)
Применив к функции w формулу Грина (гл. I, п. 8) и приняв во внимание
уравнения (34,) и (34'),находим
Я = д / Vwdr.
(51.)
Точно так же, заметив, что И удовлетворяет уравнению Лапласа, а и' -
условию (34'), получаем
ЭИ dw
/2-------------dr = 0
Эх Эх
и, следовательно, Р = д2 / Vwdr, т.е. R = Р.Совершенно так же докажем,
что и R'=P' = H2 fVw,dT. (52)
Вследствие этого равенства (51) принимают вид
У, = У+д2/-Я, У'| = У' + д2/' - Я'. (52,)
391
14. Составим ряд обобщенных потенциалов простого слоя пс" формулам
1 с--"г
*0 = / со-ds,
4л г
1 д*,,
= - / - ds, (53)
4л ап г
1 , 3**.,., е~"' ,
** = - / ------------------- ds,
4л дп г
где со - какая угодно непрерывная функция точек поверхности (5)*).
Если под со, в частности, будем подразумевать функцию п. 12, получим
*o=v. (53,)
Имеем
Д** - д2** = О внутри и вне (5),
Э**,/ fyk.e
на поверхности (5).
(54)
дп дп дп
Обозначим через Ukj и U'k ,• интегралы вида
^•'=/(217 17 +^2^i)dT'
^.,=/(2 + д2***/)с/т'
(54.)
И ПОЛОЖИМ ДЛЯ простоты икк = U2k, икк = U2I0 Ukk + i = и2к+1, иккм-= U2
к+1. Обозначив, как принято нами, через dT элемент объема, когда
интегрирование распространяется на все пространство (т.е. на области (D)
и (/У )), получаем
г/ ъ &Рк+1 2 \
U2k+1 +U2k +1 -/^2 --¦ -^- + д + iJdT\
отсюда при помощи формул преобразования Грина и уравнений (54) выводим
. _г. /
U2k+i + U2k +1 - J 'Рк I-г г Ids:
\ Эи дп f
dtp к i
= iPk ds = U2k.
dn
Из полученного таким образом равенства
гг ^* + 1 .2
U2k ~ Р PkPk + i JdT
при помощи неравенства Буняковского - Коши получаем, при сделанных
*) Отличная от тождественно равной нулю. (Прим. ред.)
392
(56)
нами обозначениях,
Ulk<{U2k+U'2lc){U2^2 +U'2k+2). (55)
С другой стороны, применив те же самые преобразования к интегралу
u2k+ub=f(z(jf-) +fi2<pl)dT,
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed