Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(22)
Ъп
Составим ряд функций
1 в~*г
Ч>\ = / f -ds,
4 it г
1 , Ъи ,
=:- / -- ds,. (23)
Ак Ъп г
1 , е
= Г ds.
Air Ъп г
Рассмотрим ряд
iLL , ... ,x"-i ....
Ъп Ъп Ъп Ъп
где X есть некоторый параметр.
(24)
385
j
Обозначим через TV* максимум модуля ----------- на поверхности (5). При-
дя
нимая во внимание свойство 5° обобщенного потенциала простого слоя,
выражаемое первым из неравенств (14), получаем
Nk< (т +Т*)^-1 =qNk~x (*=2'3>
откуда
Nk<qk~'Nx.
Это неравенство показывает, что ряд
TV, + X/V2 + X2TV3 + ... + X*-1 TV* + ...
сходится для всех значений параметра X, удовлетворяющих условию 1 //
1 А \
IX | < - = 1 / [ - + - I. Если подчиним произвольное
число д условию
Ч I \ 2 д 1
Д > 2А, (25)
то получим \lq > 1. При этом ряд (24) будет сходиться абсолютно и
равномерно во всех точках поверхности (5) и при X = 1. Вследствие зтого
ряд
Ф = <Pi + <Рг + ¦ • • + <4>к + • • (26)
также сходится равномерно во всех точках области (D) и функция Ф,
изображаемая этим рядом, может быть представлена в виде обобщенного
потенциала простого слоя
1 е~мг
Ф ----- /со ds, (27)
4я г
где положено
со=/+2 (28)
*= 1 Эл
оо btfiki
Далее, так как ряд Z сходится абсолютно и равномерно, то, в
к= 1 Эл
силу (26),
ЭФ; °° blfiki *)
= 2 ¦ (28l> Эл *=i Эл
С другой стороны, на основании (4) (свойство 3° обобщенного потен-
ЭФ, дФе
циала простого слоя) из (27) получаем ---------------------- со, откуда
при
Эл Эл
*) В силу свойства 5° (п. 4)
ЭФ i 00 I
Ъп j~ 1 Ъп 1 Ъп
Со ? N,--* О /=* '
при к-*°о. (Прим. ред.) 386
ЭФ*
юмощи (28) и (28^ выводим---------------- /, т.е., на основании
(22),
, Ъп
ЭФе bF'e
-- = -L . (29)
Ъп Ъп
Воспользовавшись, наконец, свойством 2° (уравнение (2)) обобщенного
потенциала простого слоя Ф, находим
ДФ - д2Ф = 0 внутри и вне (5). (30)
8. Положим теперь
w = F'-<t>. (31)
Приняв во внимание второе из уравнений (16) (свойство 2° функции F') и
уравнение (30), заключаем, что
Aw - ц2 w = 0 вне (5) (32)
и, в силу (31) и (29),
Ъюе
= 0 на поверхности (5). (321)
Ъп
Кроме того, функция w, определяемая равенством (31), имеет правильные
нормальные производные на поверхности (5), ибо, как указано выше, этим
свойством обладают и функции F' и Ф, и обращается в бесконечности в нуль
по тому же закону, что и потенциал простого слоя (ибо таковы же F' и Ф).
Применяя к w преобразование Грина, получаем, в силу сказанного и равенств
(32) и (321),
(dw v 2
--1 dr' + д2 / w2dr' = 0,
т.е.
w = 0, Ф = ^' вне (5). (33)
9. Рассмотрим теперь значения функции w внутри поверхности (5). Сравнив
выражение F' (см. (21)) с выражением (15), видим, что в рассматриваемом
нами случае = д2 V. Применив к последнему случаю уравнение (16), получаем
AF' - n2F' +ц2У = 0. (34)
Так как, в силу (31), Aw = AF' - ДФ, то,на основании (30) и (34),
Aw-h2w + h2V = 0 внутри (5). (34^)
Так как, далее, w есть непрерывная функция во всем пространстве, то, в
силу (33),
w/ = w = 0 на поверхности (5). (34')
Составим теперь функцию
v=V-w. (35)
Так как V есть гармоническая функция, то Ди = - Aw внутри (5),
387
откуда, в силу (34j), Ли = д2 (К - и>), т.е., в силу (35),
Ди - д2 и = О внутри (5).
1
Так как w обращается в нуль на поверхности (5), то из (35) выводим V/ =
У,- на поверхности (S).
Таким образом, функция и, удовлетворяющая уравнению (17) внутри (S) и
принимающая на самой поверхности те же значения, что и заданный потенциал
V простого слоя, найдена.
10. Докажем теперь существование функции i"j, удовлетворяющей условиям
Ai)j - д21>1 =0 вне (5),
i>i е - Уе на поверхности (5).
Положим
и? е~"г
F"= - / V dr (37)
4тг г
и
bF't'
f=-L. (38)
Ъп
Составим ряд функций
1 е-мг
Ф\ = - If ds,
4тг г
(36)
1 Ъф1е е мг
+> = - Т~ 1 Т-1 Л-
4тг ап г
, 1 , Чк-х,е е~"г j
фк = - - / г --------------------------- ds.
4тг Ъп г
(39)
Рассмотрим ряд
.к <*Ф
ы, = /- 2 ^ . (40)
*= 1 Ъп
I 1
Второе из неравенств (14) дает, подобно предыдущему УУ* < I -+
А \ ' , дФке
+ - I TV* _ j =qNk_x, где через Nk обозначен максимум модуля ------------
----------- .
д / Ъп
Отсюда N'k <qk~l N[. Это неравенство показывает, что ряд 1/1+2 \kNk
1 // 1 А \
сходится, пока IX | <-=1 / I -I-- I, если д удовлетворяет неравенству
q / V 2 д /
(25), то он сходится и при X = 1. Отсюда следурт, что ряд (40) при
сделанном условии относительно д сходится равномерно во всех точках
поверх-
оо
ности при X = 1. Вследствие этого ряд ф = 2 фк сходится равно-
к= 1
мерно вне (5) и функция ф, определяемая этим рядом, может быть 388
представлена в виде
1 е~цг
ф = ----- / со 1 ds. (41)
4я т
V Ъ^к-е
Кроме того, так как ряд ? сходится равномерно на поверх-
к= 1 Ъп дфе ~ Ъфке
ности (5), то *) ----- = ? ------ и, на основании (4),
Ъп к = 1 Ъп
Ъф, Ъфе - Ъфке
= СО, = /
Ъп Ъп к= 1 Ъп
откуда, в силу предыдущего равенства и (38), ъф( 3f;'
(42)
Ъп Ъп
Таким путем нами найдена функция ф, определяемая равенством (41),
удовлетворяющая условию (42) и на основании (2) уравнению
