Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 143

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 159 >> Следующая

1 е-нг j с-нг
F= - ff ds'+-ff do. (5)
4jt г 4n г
Так как в первом интеграле г > R, е~,,г <e~,,R и е~цК < ------ , то
I I и с
р-нг IMS ^
где S, напомним, есть площадь поверхности (5), I/| < М.
Воспользовавшись затем полярными координатами (гл. I), получаем
р-нг
/ / do
< / I/I --------- pdpdw,
г cos о
и так как (гл. I) 1/1 <М, r>p, cos д> 1/2, то
I е~,,г I 2п R
Iff- do < 2М / / е~*р dpdw =
г
о о
4пМ 4 пМ
= ------ (1_е-/*Л)< . (6 )
Д Д
Неравенства (6) и (6j) приводят к заключению, что
4 . Функция F {см. (5)) удовлетворяет во всех точках поверхности
неравенству
А
IF | <-М. (7)
Д
Пользуясь теми же цилиндрическими координатами, можем писать (ср. гл. I)
bF e-^S e-^i
4 jt--=// ---ds+pf f -- ds (8)
bn r* r
- равенство,обращающееся в равенство (85 х) п. 27 гл. I при д = 0.
Подобно 382
предыдущему имеем e-M't
-МГ1
If
ds= f f
ds + If
e~*rK
do.
(9)
Так как для всех точек поверхности (5), лежащих вне площадки (о) (в части
(5')поверхности (5)), r>R, I? | < /0, то
//
ds
Sl0
< М-г е R
HR
М Sip р eR
,4 •
(Ю)
Далее, подобно предыдущему, в силу неравенств (54) и (54,) гл. I,
<
If г1 do
= J / ----------- рdpdu>
г cos д
R М
<4itMb / е *г dp<*Aib - . о д
При помощи (10) и (10,) из (9) выводим неравенство
,-НГ
If
ds
Л,
< М,
м
где А | есть постоянная, зависящая только от вида поверхности (5). Точно
так же
е-НГJ. е-нгJ. е-МГ[
I / ds= ff - ds' + f f - do
If
r'
e-^i
ds'
Sip и_ M 4Sip
< M - e-"" <----------------------
R2 p2 e2RA '
(10.)
(11)
(11.)
(12)
ибоR2p2e < 4/e2. Далее,
< 2MbSe-w pdpdu> =
do
= AitMb
/ 1 R " 1 " \ M
I -------e-** - - е-**Л ) < -
\ Д Д Д Ip2
Aub.
p p p
Из (11,). (12) и (12,) получаем
I е-^Ч
P\ff -r2- ds
A*i
< M,
(12,)
(13)
где A 2 - определенное число, зависящее только от вида поверхности (5).
Сопоставляя неравенства (11) и (13) с равенством (8), получаем
дР
дп
А'
< -------- М.
м
где А' есть число, зависящее лишь от вида поверхности (5).
383
Это неравенство и формулы (3) приводят к заключению, что
5°. Нормальные производные функции F удовлетворяют неравенствам
bF, f
дп 2
А
- М, Р
bFe ^ / дп 2
- М, (14)
Р
где А есть наибольшее из чисел А' и А (неравенство (7)).
5. Рассмотрим еще функцию FJ, определяемую интегралом
1 е~нг
F'=-f*-----------------------------------------------------------(15)
4jt г
где есть заданная функция координат области (?>), ограниченной
поверхностью (5). Это есть обобщенный потенциал объемных масс,
совпадающий с обыкновенным потенциалом при ц = 0.
Функция F' обладает следующими свойствами, коль скоро функция
удовлетворяет условию Гельдера (неравенство (6) гл. I, п. 4):
1°. Функция F' непрерывна со своими частными производными первого порядка
во всем бесконечном пространстве и, следовательно, имеет правильные
нормальные производные, внутреннюю и внешнюю, на поверхности (S), равные
между собой.
2°. Функция F' удовлетворяет уравнениям
AF'-р2F' + ч> = 0 внутри (S),
AF'-p3F' = 0 вне (S). 11
Доказательства этих предложений совершенно те же, что и для соответ-
ствующих предложений обыкновенного потенциала объемных масс.
Положив, наконец,
1 е-"'
F"= --S*------------- dr', (15.)
4w г
получим функцию, обладающую следующими свойствами:
1°. Функция F" непрерывна вместе со своими первыми производными по
координатам во всем пространстве и имеет, следовательно, правильные
нормальные производные, внутреннюю и внешнюю, на поверхности (5), равные
между собой.
2°. Функция F" удовлетворяет уравнениям
AF" -p2F" = 0 внутри (S),
AF" -p3F" +* = 0 eue(S).. (16|)
6. При помощи этих функций мы можем доказать следую щуютео рему.
Теорема Зарембы (первая). Существует и притом единственная функция
координат v, непрерывная вместе со своими производными внутри и вне
данной поверхности Ляпунова (5), удовлетворяющая уравнениям
&и - p2v = 0 внутри и вне (S), (17)
условию
u, = ue=V на поверхности (S) (18)
384
и обращающаяся в бесконечности в нуль по закону потенциала простого слоя,
где V есть потенциал простого слоя:
1 ф
V- - f ds, (19)
Air г
плотность которого есть какая угодно заданная непрерывная функция
координат точек поверхности (5), а р есть произвольный параметр, больший
некоторого определенного числа 2А.
Функция v имеет правильные нормальные производные на поверхности (5).
Прежде всего легко убедиться, что условиями теоремы функция v.ecnu только
таковая существует, определяется вполне.
Допустив противное, предположим, что существуют две различные функции Ui
и v3, подчиненные у ранениям (17) и (18). Функция v- Ui - v3, очевидно,
удовлетворяет тому же уравнению (17), а на поверхности (5) - условию
vj = v'g = 0. (20)
Теоремы Грина дают, в силу (17) и (20),
/ S ( + dT=-p3 fv3dT-p3fv3dT,
т.е. v - 0 тождественно, откуда и следует высказанное предложение.
7. Покажем теперь, что искомая функция и действительно существует, и
найдем ее аналитическое выражение. Положим
и2 е~цг
F' - -- / V dr, (21)
4jt г
где V есть потенциал простого слоя, определяемый равенством (19), и
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed