Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
хностью (S),a второй - на все пространство, внешнее относительно (S),
имеет конечный высший и отличный от нуля низший пределы, какова бы ни
была функция у***),удовлетворяющая условию
Этой теореме я дал, на основании сказанного, название фундаментальной
теоремы.
Именно для доказательства этой теоремы Пуанкаре и изобрел упомянутое выше
точечное преобразование. Однако установить эту теорему интегрального
исчисления независимо от преобразования Пуанкаре и тех задач
математической физики, решение которых существенным образом зависит от
нее, до сих пор не удалось.
В 1901 г. Заремба в мемуаре "Sur la theorie de lVquation de Laplace et
les methodes de Neumann et de Robin" (Bulletin de 1' Academie des
Sciences de Cracovie) доказал другую теорему, аналогичную фундаментальной
теореме и приложимую ко всякой поверхности Ляпунова независимо от того,
допускает ли она преобразование Пуанкаре или нет. При помощи этой
последней теоремы оказалось возможным доказать применимость принципа
Робена ко всем, без исключения, поверхностям Ляпунова, как это показано
мною в мемуаре "Sur les problems fondamentaux etc". (Annales de Г Йсо1е
Normale, 1902.)
3. В предыдущих главах настоящего сочинения мы доказали, что "все
изложенные там методы решения основных задач математической физики
применимы ко всем поверхностям Ляпунова, к которым приложим принцип
Робена. Для того чтобы распространить полученные выводы на все
поверхности Ляпунова, остается только доказать при помощи только что
упомянутой теоремы Зарембы, что принцип Робена приложим ко всякой
поверхности Ляпунова.
*) W. Stekloff. "Sur les problemes fondamentaux de la Physique
mathematique" (Paris, Comptes Rendus, 6 mars 1899).
**) Относящиеся сюда соображения были затем более подробно развиты в
мемуаре "Les methodes generates etc." Annales de Toulouse, 1800, в
сочинении "Общие методы и тд." (Харьков, 1901) и других упомянутых выше
мемуарах.
***) Здесь <е - потенциал простого слоя; см. п. 40. (Прим. ред.)
380
Доказательству этого положения и будет посвящена настоящая глава, которую
начнем с доказательства теоремы Зарембы.
Заметим, что зта теорема сама по себе также представляет одно из
предложений чистого анализа (интегральногоисчисления),и,казалось бы,
должна выводиться непосредственно из аналитических свойств функции <р и
самого определения объемных интегралов, однако все попытки доказать ее
независимо от некоторых особенностей дифференциальных уравнений, с
которыми приходится иметь дело в математической физике, до сих пор не
имели успеха. Прием Пуанкаре, основанный на упомянутом выше точечном
преобразовании одного пространства в другое, легко приводит и к теореме
Зарембы и носит с виду чисто аналитический характер, но, в сущности,
подменяет только одну задачу другой, решить которую в общем виде столь же
трудно, как и те задачи математической физики, для решения которых оно
придумано.
Доказательство теоремы, аналогичной фундаментальной теореме Пуанкаре,
данное Зарембой, основано также на исследовании некоторых
дифференциальных уравнений, подобных тем, которые постоянно встречаются в
математической физике,и на свойствах некоторых функций, представляющих
обобщение потенциала объемных масс и потенциала простого слоя, но не
зависит ни от преобразования Пуанкаре, ни от каких-либо иных допущений,
связанных с принципами Робена или К. Неймана. Определением этих функций и
выводом их главнейших свойств, необходимых для наших целей, мы прежде
всего и займемся.
4. Пусть / есть заданная непрерывная функция точек поверхности (5), д
- положительная постоянная. Рассмотрим функцию F, определяемую равенством
1 <Г"Г
F= - П ds. (1)
4 я г
Функция F отличается от потенциала простого слоя множителем с ~рг,
стоящим под знаком интеграла, и при д = 0 обращается в потенциал простого
слоя. Эту функцию будем называть обобщенным потенциалом простого слоя.
Обобщенный потенциал обладает следующими свойствами:
1°. F есть непрерывная функция вместе со своими частными производными по
координатам х, у, г как внутри, так и вне поверхности (S), причем сама
функция F не испытывает разрыва и при переходе точки х, у, г через
поверхность (S).
Так как
е-НГ е-ЦГ
А = д --------------- при г Ф 0.
г г
то
2°. Функция F удовлетворяет уравнению
AF~p2F = 0 внутри и вне (5). (2)
Повторив с незначительными изменениями рассуждения пп. 27 - 32 гл. I,
убедимся, что F имеет определенные (правильные) нормальные производные на
поверхности (S), коль скоро зта поверхность удовлетворяет условиям
Ляпунова.
381
3°
bfl bF f
bn bn ' 2 '
bF ?
bn bn 2
Теми же приемами, что и в упомянутых пунктах, докажем следующие
равенства:
на поверхности (5) (3)
и, следовательно, bF, bFe
-------------= / на поверхности (5). (4)
дп дп
Возьмем на (5) произвольно точку р0 и построим, как и в гл. I, цилиндр
вращения радиуса R <D с осью, направленной по нормали л к (5) в точке ро
¦ Употребляя обозначения, установленные в гл. I, можем писать
