Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
до второй половины прошлого века оставалась недоказанной даже сама
возможность задачи. Первые исследования в этом направлении принадлежат
Дирихле, который, по словам Римана, доказывал на своих лекциях (до 1857
г.) теорему о существовании функции, удовлетворяющей внутри данной
области уравнению Лапласа и принимающей наперед заданные значения на
поверхности, ограничивающей область, - теорему, которой Риман дал
название принципа Дирихле.
Однако прием, которым по примеру Гаусса пользовался Дирихле, сводящий
решение вопроса к разысканию условий минимума некоторого интеграла, как
уже упоминалось выше , не удовлетворяет требованиям надлежащей строгости.
Таким образом, строго говоря, даже сам принцип Дирихле оставался
неустановленным и после 50-х годов прошлого столетия.
Более или менее строгое решение было впервые получено только К. Нейманом
в 1870 г., которое дало не только доказательство факта существования
функции, удовлетворяющей условиям задачи Дирихле, но и определенное
аналитическое выражение искомой функции. Около того же времени была
разрешена Нейманом и основная задача гидродинамики.
Но метод Неймана был установлен только для конвексных поверхностей с
определенной касательной плоскостью и кривизной в каждой точке и
основывался на недоказанном тогда предположении о существовании
нормальных производных от потенциала двойного слоя.
378
Вопрос о возможности распространить этот метод на более обширный класс
неконвексных поверхностей долгое время оставался нерешенным, и первая
попытка решить этот вопрос была сделана лишь в 1896 г. Пуанкаре в его
известном мемуаре "La methode de Neumann et le probleme de Dirichlet"*).
В основу исследований Пуанкаре был положен принцип Дирихле, который был
установлен самим же Пуанкаре в весьма общем виде еще в 1889 г. **) при
помощи особого метода, названного им ''methode du balayade", и кроме
того, анализ его был построен на допущении, что гармоническая функция,
решающая задачу Дирихле, имеет правильные нормальные производные на
данной поверхности и что таковые же производные существуют и для
потенциалов двойного слоя, с которыми приходится иметь дело в методе
Неймана.
Мы уже знаем из предыдущего, что эти допущения, вообще говоря,
несправедливы и имеют силу лишь при некотором ограничении заданной
функции, в которую должна обращаться на данной поверхности искомая
функция, гармоническая внутри этой поверхности, причем это последнее
предложение может быть строго доказано лишь для известного класса
поверхностей, которым мы дали название поверхностей Ляпунова.
Таким образом, и изыскания Пуанкаре 1896 г. не дали полного решения
задачи о распространении метода Неймана на неконвексные поверхности.
2. В своих изысканиях Пуанкаре воспользовался, кроме всего сказанного,
особого рода точечным преобразованием, которое преобразовывает всякую
замкнутую поверхность (S) с определенной касательной плоскостью в каждой
ее точке в сферу (о) радиуса 1, каждую точку внутри (5) - в определенную
точку внутри сферы и каждую точку, лежащую вне (5) в определенную же
точку, лежащую вне сферы (о). Сам Пуанкаре не дал, однако, доказательства
того, что всякая поверхность (5), обладающая только что упомянутыми
общими свойствами, допускает указанное преобразование, и до настоящего
времени возможность преобразования Пуанкаре остается недоказанной.
Только в 1899 г. Корн отметил, что к числу поверхностей, допускающих
преобразование Пуанкаре, принадлежат поверхности, конвексные по отношению
к одной точке***),с определенной касательной плоскостью и кривизной в
каждой точке. Таким путем было установлено, что преобразование Пуанкаре
применимо к более обширному классу, чем обыкновенные конвексные
поверхности, но все же оставалось (и остается) неизвестным, можно, ли им
пользоваться, например, для всех поверхностей Ляпунова.
В том же 1899 г., вскоре после появления в свет исследований Ляпунова о
нормальных производных потенциалов простого и двойного слоя и функций,
дающих решение задачи Дирихле, мне удалось доказать с надлежащей
строгостью и притом независимо от принципа Дирихле, что методы
*) Acta Mathematica, 1, 20, Stockholm, 1896.
••) American Journal, т. XII, 1889.
•••) To есть псяерхности, внутри которых находится одна такая точка, что
всякая прямая, через нее проходящая, пересекает поверхность только в двух
точках. См.: А. К о г п. - Lehrbuch der Potentialtheorie. - Berlin, 1899,
S. 236.
37"
Неймана и Робена действительно дают решение задач о распределении
электричества, Дирихле и Неймана для всех поверхностей, допускающих
преобразование Пуанкаре *).
Тогда же я обратил внимание на то, что распространение рассматриваемых
методов на все поверхности Ляпунова может быть установлено без посредства
преобразования Пуанкаре если доказать независимо от него следующую
теорему чистого анализа **):
Для всякой поверхности Ляпунова (S) отношение интегралов
из которых первый распространяется на область (?)), ограниченную поверх-
