Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
По теореме Грина
Г2*\'
е do Эл
и, следовательно, в силу двух предыдущих равенств и (129),
У,'=-^- 2 (*+ 1)/У| do.
R к=п
Положив *) А \ = /У| с/а', находим
У', = Л2 (к + 1)Ак. (138)
к-п
Далее, так как
/,' = JV2 dr!о =/ p2dpfo2do',
R
то, в силу(137),
оо
<2
/',=2 R2k+2'f^-.fY2kdo' = R3!: -- - . (138,)
к~ п R р к=п 2к - 1
Ряд правой части этого равенства сходится, а потому интеграл /', при
сделанном выборе постоянных ак действительно имеет определенный Смысл,
каковы бы ни были потенциалы простого слоя q>k(k = 1, 2,.., , р). Формулы
(138) и (138,) сейчас же приводят к неравенству
У,'//,'>(и + 1)(2л- l)/R2 >2п2 / R2. (139)
4) Напоминаем, что do' есть элемент поверхности сферы радиуса 1.
375-
39. Рассмотрим теперь область, ограниченную сферой (о) и данной
поверхностью (5). Как указано, после сделанного нами подчинения
коэффициентов ак уравнениям (136) функция оказывается линейной однородной
функцией q произвольных постоянных. Применив к рассматриваемой области
лемму Пуанкаре, получим
Числа л, р и q связаны между собой только одним соотношением р - п2 + q и
в остальном совершенно произвольны. Стоит положить п2 > q2/3 и мы получим
из (139)
где т - наименьшее из чисел т и 2/R2. Таким образом, получаем следую-
где ipk (к = 1, 2,... ,р) суть потенциалы простого слоя по отношению к
данной поверхности (5), a ak (к = 1, 2,..., р) - некоторые постоянные.
Возьмем произвольное целое число q и другое целое число п, подчиненное
условию n>ql/3 ,и положим р>п2 +q.
Постоянными акв выражении (141) всегда можно распорядиться, подчинив их
системе n2+q- 1 линейных однородных уравнений, так, что будет
40. Положим р - п2 -q =q + 1. Функция у при сделанном выше выборе
коэффициентов ак представится линейной однородной функцией от q
неопределенных параметров. По лемме Пуанкаре этими последними всегда
можно распорядиться так, что будем иметь неравенство
одновременно с (142).
Сопоставляя это замечание с предложением предыдущего пункта, приходим к
следующей лемме.
Лемма Зарембы. Пусть
где <рк суть потенциалы простых слоев по отношению к данной поверхности
(S), а ак - некоторые неопределенные постоянные. Возьмем произвольно
целое число q, другое число п, подчиненное условию n>ql/3, и положим р >
п2 + 2q + 1.
Постоянными ак в выражении (141 j) всегда можно распорядиться, подчинив
их системе п2 + 2q линейных однородных уравнений, так, что 376
У2' / /2 > mq2'3.
(140)
JiUi>2q2/3 IR2.
Из (127) при помощи (140) и (140,) выводим
J' //' >m'q2'3,
(140,)
щее предложение:
Пусть
у = а, (*>, + а2$2 + . . . + ар1рр,
(141)
(142)
(142,)
= а, ipi + а2+ . .. + ар<рр,
(141.)
будут иметь место одновременно неравенства вида
где тесть определенное число, не зависящее ни от q, ни от функций *рк.
Этой леммой мы воспользуемся в следующих частях нашего сочи-
41. Возвращаемся к задаче об установившейся температуре однородного
твердого тела, когда требуется определить функцию и при помощи уравнений
Ди + *р = 0 внутри (S),
Предположим,что *р = a^pi + а2^ + ... + ар*рр, где по-прежнему ак суть
произвольные параметры. Функция и представится в виде u = alvl + a2v2 +
... + ctpVp, где каждая из функций vk будет удовлетворять уравнениям вида
(143).
Применим к функции v теорему Грина. При помощи уравнений (143) получаем
На основании леммы Пуанкаре мы можем выбрать постоянные а* так, что будет
то, в силу (144),
ftp2 dr / fv2dr > m2p*'3.
Получаем следующую лемму.
Лемма. Если в уравнениях
Ди + у = 0 внутри* (5),
Эи/
+ Ив/ = 0 на поверхности (S),h > 0,
нения.
OVj
- + hVj = 0 на поверхности (S), й > 0.
(143)
дп
откуда выводим
К2 < fv2drfp2dT,
или
К2HJv2dr)2 <fo2dT / fv2dr.
(144)
Так как, очевидно,
функция <р зависит линейным образом от р постоянных параметров, то этими
последними всегда можно распорядиться так, что отношение / pi1 dr / fv2dr
будет больше числа m2pAfi, где m- постоянная, зависящая только от вида
поверхности (S).
Эта лемма будет необходима при решении задачи об охлаждении однородного
твердого тела.
ГЛАВА V
Фундаментальная теорема Пуанкаре - Зарембы и ее следствия.
Распространение принципа Робена и общих методов решения основных задач
математической физики на какие угодно поверхности Ляпунова
1. В предыдущих исследованиях мь! показали, что методы Неймана и
Робена дают действительное решение задачи Дирихле и Неймана для всякой
конвексной поверхности или, общее, для всякой поверхности, к которой
приложим так называемый принцип Робена. Рассматриваемые методы не только
устанавливают факт существования функций, удовлетворяющих всем условиям
этих задач, но и дают аналитическое выражение искомых функций в виде
потенциалов простого или двойного слоя или в виде сходящихся рядов, члены
которых вычисляются последовательно по определенному закону.
Впервые задача Дирихле поставлена была еще в 1828 г. Гауссом в его
упомянутом выше мемуаре "Allgemeine Lehrsatze in Beziehung auf die im
verkehrten Verhaltnisse des Quadrats der Entfemung wirkenden Krafte", но
