Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
methodes de Neumann ct de Robin. - Bull, de Г Acadcmie de Sciences de
Cracovie, mars 1901.
1
/ ?>a*-i <
".
/ IV ?>!*<*¦,.
372
В дальнейшем мы ограничимся частным предположением, что функции \рк (к =
1,2,... ,р) в выражении у обладают всеми свойствами потенциала простого
слоя по отношению к поверхности (5). При этом условии, если считать
постоянные ак какими угодно, интеграл /' может не иметь смысла, но при
известном выборе этих постоянных рассматриваемый интеграл получит
определенное значение. Это условие, как увидим, само собой будет
соблюдено в дальнейшем анализе.
Опишем около начала координат сферу > (о) радиуса R так, чтобы
поверхность (S) целиком заключалась внутри этой сферы, и обозначим
элемент объема области, заключенной между поверхностями (о) и (5), через
<Jtq. а элемент объема области, внешней относительно сферы (о) - через
dTo . Положив
(Н6)
/l = f<p2dT0, I2- f*p2dT0,
будем иметь
J'=J\ + J'2, /' = /', + /i. (127)
36. Обозначим через Рк полином Лежандра степени к от аргумента
cos у = cos д cos д' + sin д sin д' cos (<р - \р'),
где у, д , ifi' и д' суть сферические координаты двух точек поверхности
сферы (о' ) радиуса 1 с центром в начале координат, и положим
2* + 1
Yk=--frPkdo'. (128)
4 я
Здесь da' означает элемент поверхности сферы (o'), а интегрирование по
переменным \р и д' распространяется на всю поверхность (o') *).
Как известно, Yk есть шаровая функция порядка к от аргументов
и (р, удовлетворяющая условиям
fYk Y",da =0, fYk Рт do = 0, т Ф к.
fYkPkdo' = 4* ¦ Yk. (129)
2к + 1
Так как, в силу сделанных выше условий относительно функций \рк, функция
у имеет непрерывные производные первого порядка во всей области (?>')
(вне (S)), то на поверхности сферы (о) имеет место равно-• мерное
разложение вида **)
*=2 Yk. 030)
/то
2к + 1 п Г 2п
* ) = ------- /I / у (R sin Л' cos ф,R sin В' sin ф\R cos^') х
4я L
• О
ХРк (cos В cos В' + sin В sin В' cos (ф -ф')) Лф' j sin В'</В'. {Прим.
ред.) **) См., например,
С. J о г d a n. Cours d' Analyse. - Paris, 1913, т. 11, p. 296.
К. Heine. - Theorie der Kugelfunctionen. - Berlin, 1878, Bd. 1.
373
I
Функция (R/p)k+l Yk, где ресть расстояние какой-либо точки, лежащей вне
сферы (о), от ее центра, есть гармоническая вне (о), обращается в Yk на
самой сфере и в нуль для бесконечно удаленных точек. Ряд
? (Л/р)*+1 Yk, (131)
*=о
составленный из гармонических функций, обращается на самой сфере (о) в
ряд правой части равенства (130), равномерно сходящийся, и в нуль при р -
*¦ По теореме Вито Вольтера (гл. 1 ) этот ряд представляет собой
гармоническую функцию вне сферы (о), принимающую на самой сфере и для
бесконечно удаленных точек те же значения, что и гармоническая функция
<р. Следовательно, во всех точках вне сферы (о) функция <р (125) может
быть представлена в виде равномерно сходящегося ряда
<р = 2 (Л/р)*+' Yk. (132)
*=о
37. Обозначим через И* (к = 0,1,2,...) однородный многочлен от х, у, z
степени к, удовлетворяющий уравнению Лапласа ДП* = 0. Введя вместо
прямоугольных сферические координаты р, д и <р, получим П* =PkQk, где Q*
представляет собой однородный многочлен от аргументов sin & cos <р, sin #
sin <р и cos д с 2к + 1 произвольными коэффициентами, который называют
функцией Лапласа.
Существует, следовательно, 2k + 1 линейно независимых функций Лапласа
порядка к, из которых всегда можно составить 2к+ 1 линейных комбинаций
Xsk (s = 1,2,..., 2к + 1), подчиненных условиям
SA.k da'= 1, fXs,k ХгЛ da' = 0, $Фг. (133)
Функции Xs k называются фундаментальными шаровыми функциями. Всякая
функция Yk изобразится следующим образом через функции Xs,k :
2*4-1
у* = Ё As.k^s.ky s-1
где коэффициенты As k имеют вид
As.k=SYkXs,kdo\ (134)
а равенство (132) представится в виде
*>=? (R/p)k+'2z'AS'kXS'k, (135)
*=о
причем в силу (134) и (133) будем иметь
As.k=SYkXs,kdo = S*Xs.kdo, (135,)
t.e. все As k суть линейные однородные функции р и постоянных а*.
38. Полученное таким образом выражение (135) для <р показывает, что,
выбрав соответствующим образом число р, всегда можно подобрать затем
постоянные а* в выражении (125) так, чтобы п первых членов ряда (135)
равнялись нулю, каково бы ни было заданное число п. Для
374
этого стоит только подчинить постоянные As к системе уравнений
А1 ,о ~
^1,1 = ^2,1 =^3,1 =0,
................................................................... (136)
А |,п-1 = ^2,л-1 = • • • -А2п- 1 ,n- 1 = 0;
иначе говоря, подчинить постоянные ак системе 1+3 + 5 +............+
2п-1 =
= л2 линейных однородных уравнений, причем само собой разумеется, что
число р должно быть взято большим, чем л2. Уравнения (136) определят л2
из постоянных ак (к = 1,2,... ,р) в виде линейных однородных функций от
остальных р - л2 из этих постоянных, причем выйдет линейной однородной
функцией от q=p-n2 произвольных постоянных.
Выбрав ак указанным способом, получим
*> = 2 (Л/р)*+1 У*. (137)
к=п
Отсюда
Ъф 1 00
- = lim-=-----------2 (Jk + 1) У*.
Эл p->R Эр Rk=n
