Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 138

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 159 >> Следующая

fs(~) dT=Ai +А2 +-+Ар_и
Ux! (123)
где в левых частях подразумеваются интегралы, распространенные на всю
область (?>).
Обозначим через Ск интеграл вида ( ух/г, распространенный на область
(Dk), и определим постоянные ак при помощи уравнений
Ci = Ci = ... = Ср _ j =0,
(124)
f <р dr = 1.
Всегда можно распорядиться составляющими объемами (Dk) так, что уравнения
(124), линейные и однородные относительно ак, дадут определенные
отношения р - 1 этих постоянных к одной из них, после чего второе из
(124) определит и эту последнюю * )
* ) Для этого достаточно предположить, что система функций у>, у>р
линейно независима. (Прим. ред.)
370
К каждой из областей (Dk) приложимо неравенство (121) предыдущего пункта,
так как функция р удовлетворяет условиям (124). Поэтому т т
Ак >~Вк >-Вк, где 1к- наибольшее из расстояний между двумя точ-
ками поверхности, ограничивающей область (Dk\ а /есть наибольшая из всех
длин 1к. При помощи этих неравенств и (123) получим
(Ъф\г , т т
I j, / г. л л- n________
("м\ , т т
-) dTlf*2dT>->- q2. дх) 11 За2
Очевидно, р - 1<я3,г е-Я2 >(Р - 1)2,3 = Р2/3 О - 1/р)2/3 >Р213 / 22/3 при
всяком р>2. Следовательно, при соблюдении условий (124) будем иметь
где т есть определенное число * ).
34. Допустим, наконец, что поверхность (5) не конвексна.
Область (?>), ограниченную этой неконвексной поверхностью, можем
приблизить областью (?>t), состоящей из некоторого числа N составляющих
конвексных областей.
Если по-прежнему обозначим через а сторону куба, внутри которого целиком
заключается каждая из этих составляющих областей, и разобьем этот куб на
q3 составляющих кубов, а через р - 1 обозначим по-прежнему число
составляющих объемов, на которые разобьется вся область (?>(), то,
рассуждая подобно предыдущему, получим, выбрав соответствующим образом
постоянные ак в выражении (122),
/ <V\2 , тп
/?( -| dr!^2dr>- q2=lp
\дх) - За2 4 р'
Так как в данном случае р - 1 < Л/^3, то в предыдущем неравенстве под я
можно подразумевать наибольшее целое число, содержащееся в
ip- 1 \*/3
(Чг)
Сопоставляя все сказанное, приходим к следующей лемме Пуанкаре. Лемма
Пуанкаре. Пусть (?>) есть область, ограниченная какой угодно замкнутдй
поверхностью (S), и
\р = а, р, + а2 "р2 + • • • + ар *Рр, (125)
где р* (k = 1, 2,..., р) суть какие угодно заданные функции координат,
непрерывные со своими частными производными первого порядка во
1
* ) Последнее неравенство (переписанное в виде JV2dr ^-------------------
Jlwl2 dr) уста-
ш'р2'3
новлено и в случае, когда система функций ipt <рр линейно зависима. В
этой ситуации также найдется набор постоянных а,, ... , ар такой, что и,2
+ ... + ар 4- 0 н для линейной комбинации (122) справедливо обсуждаемое
неравенство. Однако при этом функция <р может оказаться тождественно
равной нулю и последнее условие из (124) не выполнено. {Прим. ред.)
371
всей области (?>), а ак (к = 1, 2,... ,р) - некоторые постоянные.
Последними всегда можно распорядиться, определив отношения р - 1 из них к
какой-либо одной при помощи р - 1 линейных однородных уравнений так, что
будет
где число Lp имеет вид тр2/3 ,а т есть определенная постоянная, не
зависящая ни от р, ни от фукций ф* * ).
35. Эта лемма приводит к ряду других аналогичных неравенств, которые
играют первостепенную роль в исследованиях, имеющих цель строгого
обоснования и распространения на возможно обширный класс поверхностей
методов решения основных задач математической физики. Выводом главнейших
из этих неравенств, которыми придется пользоваться впоследствии, мы и
закончим зту главу.
Прежде всего докажем одну лемму для области (D'), внешней относительно
данной поверхности (S), и для некоторого частного вида функции <р,
которая установлена Зарембой в 1901 г. **).
Допустим, что функция <fi, как и в предыдущем пункте, определяется
равенством (125), обозначим через с/т' элемент объема области (?>') и
положим
где интегрирование распространяется на все пространство, внешнее
относительно поверхности (5).
* ) Если система функций у>, <рр (из С1 ф) ) линейно зависима, то функция
<р может оказаться тождественно равной нулю. Напомним также, что
рассматриваемая поверхность (5) удовлетворяет условиям п. 17 гл. 1 .
В качестве приближающей область ф) области ф, ) можно, например, взять
область, содержащую ф) и являющуюся объединением конечного числа (Л)
достаточно малых не пересекающихся по внутренним точкам кубов (имеющих
непустое пересечение с (D) ). Продолжим функции из С1 ф) в область ф,)
так, чтобы эта операция была линейной и имело место неравенство
/ |vul* Л-, < С/ |vula dr (125,)
?>, D
с не зависящей от функции и постоянной С. По заданным функциям <рр,
р> N (продолженным в ф,)), выберем указанным в пп. 32 и 33 способом
постоянные а, ар; при этом в каждом кубе, а следовательно, и в области
ф,) будет справедлива оценка
Используя неравенство (125,), получаем требуемое неравенство с постоянной
**) S. Z а г е m b a. Sur la theorie de 1* equation de Laplace et les
Предыдущая << 1 .. 132 133 134 135 136 137 < 138 > 139 140 141 142 143 144 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed