Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
<р = Oi^i + <р2 (110)
и выбрать постоянную а при помощи условия
где d т есть элемент объема области (D) (куба).
Построим конвексную поверхность Ляпунова, которую обозначим через (S')
целиком лежащую внутри (5). Поверхность(5') всегда можно сделать сколь
угодно близкой к поверхности куба, так что объем области (Д>)>
заключенной между поверхностями (5) и (5'), будет сколь угодно малым.
Обозначим через d т' элемент объема, ограниченного поверхностью (5'),
через d т0' - элемент объема области (А>). Выберем постоянную а в функции
(110) при помощи условия /(fid т' = f (a<Pi + <p2)dr' =0,т.е. положим
где /1 есть наибольшее из расстояний между двумя точками поверхности
1 + > 1 +4 2 = 17 и следовательно, для любой
конвексной ио-
(1 - г)
(111)
а = - f <р2 dr' I f dr'.
Неравенство (109), приложимое к поверхности (5'), дает
(112)
(ИЗ)
(S).
*) Предполагается, что / *>, сГт * 0. (Прим. ред.)
367
Рассмотрим отношение
/ = /2^yy-j dr//<02 tfr, (ИЗ,)
где интегралы распространяются на всю область (D) куба. Очевидно
(неравенство (113)),
(Э \2 щ
</T/jV</r>- jVdr' / f^dT =
m
= yj /* / S* dr, (114)
ибо /, </. Учитывая (110) и (112), можем писать (JVi d т')2 f <р2 d т = f
<fil dr (fsfi dr')2 -
- 2/*i *2 drfft dr'S<p7 dr' +/ф? dr(f >p2 dr')2 ,
(/<0, dr')2 f \p2 dr'= f if# dr' (f\pt dr')2- Ul4i)
- 2/<0, dr' f ft dr' f^dr' +frfdT' (ff2dT')2, откуда
(S'Pidr')2 [/y2 dr - /<02 dr' J = /<f2dT0(ft, dr')2-
- 2 fifii <0j </ro/<0, dr' f "ft dr' + /<0?dro (/<0j dr')2- (115)
Обозначив правую часть равенства (115), которая, очевидно, неотрица-
тельна, через X 2, получаем/<02 dr -/<02 dr' = Л2 / (/<0, dr')2. Из
выражения для X2 следует, что выбрав поверхность (S') достаточно близкой
к поверхности (S) куба, будем иметь
X2 <62, (116)
где 6 есть произвольно заданное положительное число, стремящееся к нулю
по мере приближения поверхности (S') к (5).
Таким образом, из (114) выводим ml X2 \
^Т2 V (Svidr'f f ^2 dr / (117)
Положим
V2 =/<0j tfr(/<0, dr)2 - 2 /<0, <02 </г/<0, dr/<0i dr +
+ / ^>? с/ Т (/ ^>2 cf т) 2 ,
x' = / <01 d г0 [/<0, <01 dr /<0i d т - f ifx dr S <p\ dr \ +
+ /<0I dr0 (/<0, <01 rfr/<0, dr-/<0j dr/<02 dr],
X, = K2 + 2X\ где
Kg =/<0j drififidr0)2 - 2/<0, <0j dr/<0, i/r0/<0j dr0 +
+ /<0? dr(/<0,dro)2.
348
Очевидно, сделав поверхность (S') достаточно близкой к (S), будем иметь
|Х,|<52. (118)
Пользуясь указанными обозначениями, можем первое из равенств (114,)
представить в виде
(/^>, dr')2 f>p2 dr= V2 + X,,
ml X2 \
причем будем иметь (неравенство (117)) / > - I 1 - --------- I для
I \ V. + X, /
всякой поверхности (S'). Сделав (S') достаточно близкой к (S), будем
иметь, на основании (116) и (118),
m
!>- (1-е), (119)
где е - наперед заданное положительное число, стремящееся к нулю, когда
поверхность (S') приближается к (S).
Положим теперь
ч / Э(Л2\2 Э(Л, Э<л2
W2 =(/*, dTj'/Sl-r1) dT-lS^drS^drS'L - - dr +
\ Эх / Эх Эх
+ (f&dT)2fx(j^-) dr.
Нетрудно убедиться, что выражение /(113,) можно представить в виде / =
/2(^У</т//*2</т = (И'2+Х2)/(К2+Х1),
где Х2, как и X,, есть величина, которую можно сделать сколь угодно
близкой к нулю, если поверхность (S') сделать достаточно близкой к (S),
отношение же W2 / V2 представит значение отношения
/?(l7
если функцию у подчинить условию
/ \fidr = 0. (120)
Таким образом, сделав поверхность (S') достаточно близкой к (S), можем
писать
W2 + Х2 W2 ,
где е' есть число, стремящееся к нул.э одновременно с числом е
неравенства (119). В силу всего сказанного неравенство (119) приводится к
виду
W2 m
^-(1+е')> -(1-е)
369
w2 (ъ*Х
и имеет место при всяком положении поверхности (5') внутри (S) и
достаточно близком к (S). Отсюда заключаем, что, при условии (120),
'2 -> т dr//у;2 dT>-j^ , (121)
коль скоро интегралы, входящие в выражения W2 и V2, имеют определенный
смысл.
Легко видеть, что предыдущие соображения справедливы не только для куба,
но и для всякой поверхности (5) с каким угодно числом ребер или углов,
лишь бы она была конвексна.
33. Пусть теперь (5) есть какая угодно конвексная поверхность.
Предположим, что область (?>)., ограниченная этой поверхностью, лежит
целиком внутри куба, сторона которого равна а. Разобьем этот куб
плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на q3 малых кубов,
сторона каждого из которых будет равная/q. Любая область, общая каждому
из этих малых кубов и телу (?>), будет конвексна, и наибольшее расстояние
между двумя ее точками не превзойдет числа а ч/Т* / q. Пусть число таких
составляющих объемов, на которые разбивается объем области (D), есть р -
1, а функция у? представляется в виде
у? = а, у;, +а2у2+ .. . + ар ур, (122)
где <рк (к = 1, 2,. .., р) суть заданные функции, а ак (к = 1,2,.. ., р)
- некоторые, пока неопределенные постоянные.
Обозначим через (Dt), (D2), • • • , (Dp _ |) элементарные объемы, на
которые мы разбили область (?>), через А к и Вк - интегралы вида
/ 2 j dr и / <p2dT,
распространенные на область (Dk). Имеем /ду) \2
