Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
нами в п. 3 гл. II части I сочинения для случая одной переменной, но
справедливое для какого угодно числа переменных и для какой угодно
области **).
*) Напомню, что мы всегда рассматриваем замкнутые поверхности,
удовлетворяющие условиям Ляпунова (гл. I , п. 17).
**) Для случая, например, трех переменных это неравенство доказывается
проще всего следующим образом.
Пусть *р и ф - две какие угодно интегрируемые в данной области (О)
функции координат х, у, г. Обозначим через dr и dr, элементы области (О)
при интегрировании по переменным х, у, ж и {, л. Ь Очевидно,
-2+ ,pti1/l)dTdTi =' /(**, - 4i*i)i'dTdTi > 0 .
Так как левая часть этой формулы равна
2{f dr f dr - (f dr)1) , то ({ ft dr)1 < / J dr / <i,dr.
Знак равенства может соответствовать, очевидно, лишь случаю = const ф ,
4п г
(87)
VWds > 0.
(88)
360
Получим
1 ds W2 L W2
V2 <-----------------------------------r / - / ds < r / ds.
(4rr) r r (4 я) r
Отсюда
L J ds\
'*** ^ '''Ч'Г.Г
/№2<fc = /02/№2cfc
С другой стороны,
/ K№rfs<V/К1*' V7 W* ds
и, следовательно, в силу предыдущего неравенства fVWds<l0fW7ds.
Это последнее неравенство и (88) дают
fbV\2
/2( -I dT<l0fW2ds. (89)
Применим теперь формулы преобразования Грина к функциям Ии №. Получим
ЭК Э№ /ЭК, ЭКД
'Z1T1Г^'Ы-ТГГ'^ *
Отсюда при помощи неравенства, аналогичного неравенству Буняковско-го,
выводим
, , /ЭК\2 /Э W\2
(/№2Л)2 J dTfzl- dT.
Это неравенство и (89) приводят к следующему:
(bw\2 /№2Л</0/2(--I dT.
Получаем следующую лемму.
Лемма I.Для всякой функции W, непрерывной во всем пространстве, имеющей
производные первого порядка, непрерывные внутри и вне данной поверхности
(S), правильные нормальные производные на самой поверхности и
обращающейся в бесконечности в нуль по тому же закону, как и потенциал
простого слоя, имеет место неравенство вида
/Э№\2 , , 1
'та "•/'"¦"s.
ds
где l0=L/ (4л). a L есть максимум интеграла / - на поверхности (S).
г
Эта лемма справедлива для всякой поверхности Ляпунова.
361
27. Обозначим через у функцию координат, имеющую непрерывные частные
производные первого порядка внутри поверхности (5) и подчиненную условию
/*<*т = 0. (90)
Найдем функцию ф, удовлетворяющую уравнениям
А ф + - 0 внутри (5),
Э*'- П (91)
=0 на поверхности (5).
Эл
Как показано в п. 5, мы можем всегда найти такую функцию ф
для любой поверхности Ляпунова, к которой приложим принцип
Робена, и в
частности, для любой конвексной поверхности.
По теореме Грина имеем
дх Э ф ,Э ф,-
/2 - dr = - f Аф<1т+ J *--ds, (92)
Эх Эх Эл
откуда, на основании (91),
Э(Л дф
/2 -Z- - dr = J у2 dr. (92.)
Эх Эх
Подобным же путем получаем
/ Э ф Y2
/2 l-^-J dт = -fфAфdт = f^pфdт>0. (93)
Применим к интегралу левой части равенства (92) обобщенное неравенство
Буняковского (Шварца). Получим
ОтсюДа на основании (92,) и (93) выводим (f ip3dr)3 <f 2 dr f *рф
dr<
</2^-j rfT(/^JrfT/^JrfT)l/2. (94)
28. Пусть x, у, z есть какая-либо точка, лежащая внутри (5). Опишем около
этой точки, как центра, сферу (о) радиуса R и применим формулы (31) и
(32) гл. I к области (О,), ограниченной поверхностью (5) и сферой (о),
целиком лежащей внутри (5), полагая U - w, V - 1/г,
г= >/(х - ?)5 + (v - v)2 + (г - i)2\ где w - -j- f ~ dr*).
4я г
*) Интегрирование совершается по переменным (, v, t", функция <е
удовлетворяет условиям предыдущего пункта.
362
Заметив, что первые частные производные w по х, у, г непрерывны во всем
пространстве, что
Aw = -<p внутри (5), а в области (О,)
А (1 /г) = 0,
получаем
3w Э (1/г) , Э (1 /г) Э (1/г)
/ Е dr =fw ds + fw-da, (95)
дх дх дп дп
dw Э (1 /г) . . dw 1 dw 1
JE--------------------dr =/ -- dr +/-----A + J------------do,
дх дх г дп г дп г
где через dr' обозначен элемент объема области (?)]), через da - элемент
поверхности сферы (о).
Так как направление внешней нормали л противоположно направлению R
радиуса сферы, то
Э(1/г) дп R
Далее,
3(1 /г) cos ф dw 1 1 Э w
fw-----------ds = - f w -- ds, f -¦ do = - / ---------------------
dn r dn r R dn
Учитывая эти соотношения, из (95) выводим
/ w - ------- da = / wda.
1 cosy? , 1 dw dw 1
-- / wda - f w ---ds = /- dr + - / do + /---------------- -ds (96)
R2 r2 r R dn dn r
- равенство, справедливое при всяком достаточно малом/?.
Предположим, что R стремится к нулю, и перейдем к пределу. Получаем
1 1 dw
lim -rfwdo = 4ffw, lim - /--------- do = 0,
я - о R я - о Л Эл
lim / - dr'-f - dr =4f w, я - о r r
и равенство (96) обращается в следующее:
dw 1 cos<i
/ - ds-- Sw --ds,
dn r r2
имеющее место для любой точки х, у, г, лежащей внутри (5).
Предположим, что точках у, г приближается к какой-либо точке поверхности
(S) и перейдем к пределу. Учитывая известные свойства потенциалов
363
простого и двойного слоя, получаем для точек поверхности (5):
dw 1 cos v?
f - ds-- f w --- ds - 2 n w.
dn r r2
Ho . drV12
4я | w | <(/y2 dr f--J <2 V Jf/ \ThprdT'
и, для конвекснои поверхности,
COS (P COS (p
-~*</|w| --------:
r2 r'
Следовательно,
COS COS "7 p i 11 >
/ w -- ds</ I w I --------------- ds <y/irl у/f *p dт.
