Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
- подразумевать соответственно внутреннюю или внешнюю нормальную дп
производную от функции Грина, а под п - внутреннюю или внешнюю нормаль к
поверхности (5), какова бы ни была непрерывная функция /, в
355
которую должна обращаться на этой поверхности искомая гармоническая
функция U
23. Применим полученные выше результаты еще к доказательству
существования двух функций, аналогичных функции Грина, которые встречают
полезные приложения при решении различных вопросов математической физики.
Одна из зтих функций была введена мною в статье "0 дифференциальных
уравнениях математической физики" *), другая-Пуанкаре в его уже
цитированном мемуаре "Sur les equations de la Physique mathema-tique".
Обозначим через/ функцию, определяемую следующими условиями:
1 °.Функция J зависит от двух систем координат х,у, г и т?, f, непрерывна
по х, у, z вместе с ее частными производными двух первых порядков внутри
поверхности (5), за исключением точки х = ? у = tj, z = f, где
J обращается в бесконечность таким образом, что разность J - -- огра-
4 пг
ничена. j
2°. Функция J удовлетворяет уравнению AJ = - внутри (S) **), где
D есть объем области (D), ограниченной поверхностью (S).
о ЭУ/
3 . На поверхности (S) функция J удовлетворяет условию = 0.
Ъп
4°. И, наконец, следующему: fJdr = 0,
где через dr обозначен элемент объема области (D) при интегрировании
по переменным х, у, z.
Обозначим элементарный объем той же области при интегрировании . по
переменным ?, т?, f через </г, и положим
1 rfT, W
/ = /,--/-----------------=Л-- • (78)
4я D г D
Задача сводится к определению функции Jx, удовлетворяющей условиям Д Л =
0 внутри (5) ,
bJu 1 bW,- (79)
-- = - -- на поверхности (S).
Эн D Ъп
Положив, наконец,
1
+ -- . (80)
4 7ГГ
сведем задачу к определению гармонической внутри (5) функции /2
*) Математический сборник, Москва, т. XIX . 1896. Различные приложения
этой и некоторых других подобных функций были указаны мною в докладах на
съезде естествоиспытателей и врачей в Киеве в 1898 г.
**) Конечно, за исключением указанной точки х = ?, у = т), z = f. (Прим.
ред.)
3S6
при условии
ЪJu_________1 э(~г) , 1 bw,
Ъп 4 я Эи D Ъп
1 cos ip I ЪМ?!
=----------- +----------=/ на поверхности (S).
4я г D Ъп
Здесь (р обозначает угол, составляемый направлением, идущим от точки 17,
f, лежащей внутри (5), к точке х, у, г поверхности (5), с внешней
нормалью и к (5) в этой последней точке.
ЪИ>1
Так как по теореме Пуассона AW = - 1, то f AWdr = / ds = - D.
Ъп
При помощи этого равенства и теоремы Гаусса получаем
ffds = 0. (81)
Задача сведена к задаче Неймана, которая возможна в силу (81). Пользуясь
приемом, указанным в теореме VI гл. II, определим функцию j2 в виде
потенциала простого слоя, причем функция J2 + С, где С есть какая угодно
функция переменных €,17, f, будет также решением задачи. Функция J
представится на основании (78) и (80) в виде J - J2 - W I
+ + С. Определив С при помощи уравнения
D 4 яг
1 1 и^.ч.Г)
С= - j WdT-- fJ2 dr -
D2 D D
получим искомую функций J , удовлетворяющую всем поставленным
10 л О а О <0
,2 ,3 ,и4 .
Пользуясь приемом Римана, примененным им к доказательству симметричности
функции Грина, докажем, что функция J также симметрична относительно
переменных х,у,г и ?, 17, f *)
Легко видеть, что решение задачи об установившемся тепловом состоянии
однородного твердого тела, когда лучеиспускательная способность
поверхности, его огра!шчивающей, равна нулю, представляется (ср.
уравнения (281) п. 6) при помощи функции J в следующем простом виде:
"o = SJ Ч> 1 +С , (81,)
где С - произвольная постоянная, a есть значение р при замене в нем
переменных х,у, г на ?, 17, f **).
24. Переходим к доказательству существования второй из упомянутых в п.
23 функций, определяемой следующими условиями:
1°. Функция Н зависит от двух систем координат х,у,г и ?, 17, f и
остается непрерывной во всех точках внутри данной поверхности (S) вместе
*) Повторять это хорошо известное доказательство считаю излишним.
**) Предполагается, что функция удовлетворяет условию Гельдера и условию
(30) п. 7. (Прим. ред.)
со своими частными производными по х, у, и г двух первых порядков, за
исключением точки х = ?, у = rj, г = f, где Я обращается в бесконеч-
1
ность так, что разность Я - ------ ограничена.
4 irr
2°. Функция Я удовлетворяет уравнениям
ДЯ = О внутри (S), (82)
ЭЯ,
+ йЯ/ = 0 на поверхности (S), (S2t)
дп
где И есть положительная постоянная.
Функция Я представляет частный случай обобщенной функции G Грина,
которой, пользовался Пуанкаре в своем упомянутом выше мемуаре. Эта
последняя определяется теми же условиями, что и функция Я, с той
разницей, что уравнение (82) заменяется следующим:
ДС+?С=0 внутри(5), (83)
где ? есть некоторый параметр *). Определение этой последней сведется,
очевидно, к решению поставленной нами задачи, если искать функцию G в
виде ряда, расположенного по целым положительным степеням параметра ? . В
частности, при ? = 0 функция Пуанкаре G обращается в рассматриваемую нами
