Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 132

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 159 >> Следующая

(173) гл. I , ибо в данном случае для точки р0 1 2"
- /(Г - /о) dw < const р3.
2 7Г о
Следовательно, U имеет определенную нормальную производную в этой точке.
Поэтому, если обозначим значение U в точке Р0 через U0, то будем иметь
где А есть определенное число, а /0 - значение / в точке р0 поверхности
нормаль к поверхности (S). Так как функция G положительна внутри (5)
***)и обращается в нуль на самой поверхности, то
во всех точках поверхности (S).
*) A. L i а р о u п о Г Г. Sur certaincs questions etc. - Journal dc
Mathematiqucs. 1898, p. 308. ,
S. Zaremba. Sur le probleme de Dirichlct. - Annales de 1'Ecolc Normalc,
1897, Т. XIV, p. 251.
**> Нетрудно показать, что число А можно выбрать не зависящим от
расположения точки р" на поверхности (5). {Прим. ред.)
***) Доказательство этого элементарного предложения общеизвестно. См.,
например, Н. Р о i п с а г 6, 'Theorie du potentiel Newtonien" (Paris,
1899, p. 160).
/=(S-So)j+07-i7o)J+(f-ro)2 .
(71)
1U0 -f0\<A6,
(71,)
Сs)••).
Будем подразумевать в дальнейшем для удобства под п внутреннюю
(72)
дп
353
Опишем около точки Ро сферу достаточно малого радиуса R и обозначим через
do элемент площадки (о),вырезаемой этой сферой на поверхности (5), через
dsi - элемент остальной части поверхности. Формулы (71) и (72)
показывает, что функция
= ^ ds (72.)
дп
положительна во всех точках области (27) *).
Следовательно,
dG, , dG,
U0>ff--Ldsl>R2f --ds, , (73)
an an
ибо для всех точек части поверхности (5), внешней относительно (о), f>R2.
С другой стороны, заметив, что /0 = 0 в точке р0, из (71,) получаем Uо <
AS. Это последнее неравенство и (73) дают
dG, 8
1-dst<A~- . (74)
on R2
22. Будем подразумевать теперь под f какую угодно функцию, непрерывную
на поверхности (5).
Как известно, dG,
/ --idf-J. (75)
on
где бы ни находилась точка х,у, г в области (27)**). Поэтому, обозначая
через /0 значение f в точке р0, можем писать для точки Р0:
Э G dG 3 о
Uo -fo^S(f-fo)--Lds = f(f-fo)T-Lda+ Д/-/0)-!ds, . (76) дп дп дп
Так как f есть непрерывная функция, то выбрав R достаточно малым, будем
иметь \ f - fo \ <е для всех точек площадки (о), на которую
распространяется первый интеграл предыдущего равенства. Поэтому, на
основании (72) и (75),
dG,
Sif -fa) --do дп
dG, dG,
<ef da<ef ds = e. (77)
dn dn
*) Так как функция f, определенная формулой (71), очевидно, удовлетворяет
в любой точке поверхности (S) условию (173) гл. 1 , то по доказанному в
п. 19 гармоническая в области (?>) функция (/, удовлетворяющая граничному
условию U, = = f (на поверхности (5)), представляется в виде (72,).
{Прим. ред.)
**) В самом деле, если п есть направление внутренней нормали, то, в силу
(60),
. 1
dG/ ЗГ/ 1 3- 1 cos ip
{ ds = { ds+ -f -ds = -/ ds,
in in 4n in 4ir Iя
i G,
откуда на основании теоремы Гаусса / -ds = 1 .
Обозначим через М максимум модуля / на поверхности (5). Имеем I/ - /о I <
2М. Следовательно, на основании (74),
ЭС, I ЭС, 5
S(f-h)-r±dsl\<2MS-r1dsl<2MA -.
дп I дп R
Гак как б и Л суть две произвольно задаваемые, не зависящие друг от друга
величины, то, выбрав указанным выше способом R, положим затем 6 = <//? 3,
где а есть некоторая положительная постоянная. Получим
I ЭС,
J(/-/o) ~~ dsi < IMAaR.
I дп
При помощи этого последнего неравенства и (77) выводим из (76)
\U0 -J0\<e + 2MAaV36'l3 =т),
где 1} есть число, стремящееся к нулю одновременно с б. Отсюда следует,
что функция U, определяемая формулой (72х), стремится к/0. тогда точка Р0
приближается к точке р0 по нормали к (S) в этой точке. Это справедливо
для любой точки р0 поверхности (5), и число rj не зависит от положения
этой точки на рассматриваемой поверхности.
Следовательно, функция U стремится равномерно к f во всех точках (S);
Uесть гармоническая внутри (5) функция, обращающаяся в заданную
непрерывную функцию f на поверхности (S).
Точно так же докажем, что функция U, определяемая равенством (70), есть
гармоническая вне (S) и обращается в f на самой поверхности.
Мы предполагали, что точка Р0 приближается к р0 по нормали к (5) в точке
Ро. Покажем, что в любой точке р0 поверхности (S) функция Uпринимает
соответствующее значение f0, по какому бы пути ни приближалась некоторая
точка Рс внутренней стороны поверхности (S) к точке р0 ¦
Пусть р есть какая-либо точка на (5), достаточно близкая к р0, а Р есть
точка, лежащая внутри (5) на нормали к (5) в точке р на расстоянии б от
р. По предыдущему | U - /| < ij, где U и / суть значения этих функций
соответственно в точках Р и р. Так как / непрерывна на поверхности (5),
то при достаточной близости р к р0 будем иметь |/ - /0 | < ij.
Следовательно, \U - Jo I < 2rj, откуда и вытекает высказанное выше
утверждение.
Таким образом , приходим к теореме.
Теорема IV. Для всякой поверхности Ляпунова, к которой приложим принцип
Робена, и, в частности, для всякой конвексной поверхности функция
д G
ds
дп
дает решение внутренней или внешней задачи Дирихле, если под символом д G
Предыдущая << 1 .. 126 127 128 129 130 131 < 132 > 133 134 135 136 137 138 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed