Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ч = У о + 2 Re (ahyi) + 2а?_х | у1 | 2 +
+ 4Re (aJij/oi/i) + 13], хг = = уг + a^yl -f
+ an*/i + a-i-i*/i + 2ao-i2/0j/i + 2aJ_i | г/i | 2 + [3]. (1.10)
Коэффициенты здесь выражаются по формулам (1.6) через коэффициенты
исходной системы (1,1.1) (А," = 0, А,±1 = -у ± iсо) следующим образом:
а а? а0 а0
О 1 "11 "О __ "l-1 "О "01
"11 - -5- , , "l-i - гг- . "П1 -
2 - у + гсо ' 11 2у ' 01 - у + гсо '
1 __ "Ю 1 _ "п "1 _ а-1-1
"оо - • " ' "11 - _ " I ' "-1-1
Y + гсо ' 11 у + Згсо
а1 а1
а1 - г °~1 о1 - 1-1
"о-i - 1 5Т~ 1 "1-1 -
2а> ' 1 у гсо
Используя формулы (1.7) и (1.9), можно продолжить (1.10) до третьих
степеней включительно.
3.2. Интегрирование нормальной формы. Первое уравнение
(1.3) приводит к квадратуре
Vo
[ dy
\ уЪвУ
ч
= и (2.1)
После обращения интеграла (2.1) второе (и третье) уравнения также
решаются в квадратурах.
СЛУЧАЙ НУЛЕВОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ
153
Если gi = аЛо ф 0, то для второго приближения будем иметь
Уо
\-TT=t' Уо = (~т - a°oot) 1 (УофО),
{ аооУ* /
"о
что сразу обнаруживает неустойчивость тривиального решения системы (1.3),
а следовательно, и исходной системы.
Если g\ = 0, но g\ Ф 0 (см. (1.8)), то будем иметь из третьего
приближения
у0 = sign уо (i/2 2 - 2g\t)-ll'.
Если g(r) < 0, то у0 (/) ->-0 при t оо и, как следует из второго уравнения
(1.3), ух (t) ->-0 при t -*¦ оо. Итак, при g(r) < 0 тривиальное решение
системы (1.3), а следовательно, и исходной системы, асимптотически
устойчиво; при g\ Д> 0 оно неустойчиво.
Все сказанное соответствует критическому случаю одного нулевого корня,
исследованному Ляпуновым ([77а], §§ 28-32). Здесь мы также основывались
на теореме Ляпунова об устойчивости по тп-му приближению в первом
критическом случае (177а], § 32).
По исследованию грубости свойств устойчивости и неустойчивости мы
отсылаем читателя к монографии Н. Н. Красовского ([70], § 19). Там же
читатель найдет теорему об устойчивости по приближению /71-го порядка (§
22), и дополнительные результаты по критическому случаю одного нулевого
корня (§ 26).
3.3. Замечание о сходимости. Обратимся к достаточным условиям сходимости
нормализующего преобразования (и нормальной формы), доставляемым теоремой
А. Д. Брюно (п. У,2.4). Из уравнения (1.1) видно, что
I (A. Q) I = + Vt\qi + 7-i)2 + ю2 (?i - q-\f-
По определению (V,2,4.1) имеем
<?k = А = inf (у, со) (к = 1, 2, . . .).
Левая часть условия ю (п. V,2.4) запишется в виде
Vs! in А . .
к=1
и условие со, очевидно, будет выполнено. Условие А' (п. V, 2.4) запишется
в виде
ф0 = 0, (3.1)
гдеф0 - правая часть первого уравнения (1.3). Поскольку в нашем случае
имеется лишь одно собственное значение (Х0 = 0) матрицы
154
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
линейной части исходной системы, расположенное на мнимой оси, то мы
находимся в случае 1*), п. V,2.4, когда условие А сводится лишь к
выполнению условия А'. Итак, условия со и А выполнены при выполнении
условия (3.1) или в развернутом виде при выполнении условий
А = 0 (8 = 1, 2, . . .). (3.2)
Следовательно, нормализующее преобразование этого пункта при условии, что
все его произвольно выбираемые коэффициенты положены нулями, и при
условиях (3.2) сходится в некоторой окрестности нуля.
Достаточные условия расходимости п. V,2.4 в условиях этого параграфа (а
также в условиях § 1 и 2) отказывают.
3.4. Свободные колебания следящей системы с телевизонным измерительным
устройством. Рассмотрим систему, состоящую из двухстепенного гироскопа, с
внутренней рамкой которого жестко связано оптико-телевизионное устройство
[136]. Изображение объекта слежения через оптическую систему попадает на
экран электронно-лучевой трубки, на котором расположен прямоугольный
растр, покрытый сеткой точечных светочувствительных элементов. При
попадании объекта в поле зрения оптической системы на растре появляется
пятно. Слежение за объектом осуществляется при помощи специального
телевизионного измерительного устройства (ТИУ) [136] с окном
прямоугольной формы, всегда расположенным на изображении объекта (рис.
13). Центр
симметрии окна при помощи ТИУ, совмещается с центром тяжести изображения
объекта на растре. Задача следящей системы состоит в том, чтобы с
наименьшей ошибкой совместить центр тяжести изображения объекта с центром
симметрии растра.
СЛУЧАЙ НУЛЕВОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ
155
Будем рассматривать случай, когда изображение объекта на растре больше
размеров измерительного окна. Подобная ситуация всегда возникает при
достаточно близком расстоянии от объекта. При этом, если пятно полностью
накрывает измерительное окно, то сигнал на выходе ТИУ отсутствует. Таким
образом, в рассматриваемом режиме ТИУ представляет собой нелинейный
элемент с характеристикой типа зоны нечувствительности, которая здесь
аппроксимируется кубической параболой. Амплитудно-частотная
Г
к
р(Тгрг+2?Тр+1)
Рис. 14.
характеристика гиростабилизатора, снятая на стенде, аппроксимирована
колебательным звеном с интегратором. Окончательно структурная схема
