Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
интегрирование системы (4.2) дает нам
У о
V"
О
-fR
Т-оо
Уо° уг=0
Ро I Р
г= оо
Рис. 12.
Уо
Р = Ро (1 - а0юу°оГ)
2 Re 0
aon
Рассмотрим теперь общий случай, когда в системе (4.2) все три
коэффициента отличны от нуля. Разделив первое уравнение (4.2) на второе,
получим
dya _ а Уо I Р Р
<*Р V Р V Уо
(а - аоо, р - 2а!-!, у - 2 Re aoi)-Известная подстановка у0 = ри (р)
приведет это уравнение к виду
Р"-?-(т-')", + -т- <5-2>
6) Допустим, что ah = 2Re ah ф 0 (а - у), а?_! Ф 0. Выполняя
интегрирование в (5.2), найдем
§ 2] СЛУЧАЙ НЕЙТРАЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 149
Подставляя во второе уравнение (4.2), придем к квадратуре
±т S
V + V
= Т.
In
Р
Ро
Обращение этого интеграла даст нам р = р (т; р0, у°0).
7) Допустим, наконец, что аЦо Ф 0, a?_i Ф 0, Re ah Ф 0 и "и Ф 2Re ап
(а Ф у). Из (5.2) получим первый интеграл системы (4.2)
(" - Y) г/о + Рр2
(а - ?) Уо + РРо
Отсюда будем иметь
yl
У о
Р
"2
Ро
)(•
2 - V
2 - V
Р
¦р
и второе уравнение (4.2) приведет нас к квадратуре
'¦да*--t
р
г/°2 У о
а - у
а - у
Р'
= Т,
из которой определится р = р (т; р0, i/o)-
Анализ случаев 1) - 7) обнаруживает ограниченность всех решений системы
(4.2) при любом т 0 лишь в случае 4) при условиях (4.3), что совпадает с
выводами п. 2.4. Нормализующее преобразование (2.8) позволит выписать,
общее решение исходной системы (1,1.1) при б = 0 с точностью до вторых
степеней переменных включительно. Исследуя общее решение, можно, в
частности, выделить области условной устойчивости в пространстве
начальных значений для тех преимущественных случаев, когда тривиальное
решение системы (4.2) неустойчиво.
2.6. Пример. Рассмотрим уравнение
Ь2й = си3
(Ь > 0, с ф 0),
или, вводя безразмерное время т = bt, уравнение
и
и' = уи3
d
dx
представимое в виде системы уравнении rfu
dx
= Au -f-
0
0
у и3
U
А =
1 0 0 1
-1 о
(6.1)
• (6.2)
150
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
Собственные значения матрицы А суть 0, i, -i. Выпишем матрицу S (и ей
обратную), приводящую матрицу А к диагональной форме
(6.3)
Замена
1 0 1
1 1 1 0 1 1
0 i - i , s-* = - 2 1 - 2
0 - 1 -1 0 1 1
2 г - 2
u = Sx,
х =
(6.4)
dx
dx
приведет систему (6.2) к диагональному виду
= diag (0, i, - i) + S_1 i 0
\ V(*o + *i+*-i)3-. или, в развернутом виде,
^ = У (хо + zi + z_i)3,
= ix i - у (z0 + хг + z_i)s,
= - ix.x - у (z0 + xi + ^-i)3-
(6.5)
Поскольку квадратичные члены в системе (6.5) отсутствуют, то и в
нормальной форме они также будут отсутствовать и нормальная форма (1.2а)
с точностью до кубичных членов включительно примет вид
<*Уо
dx
ёгоУо + ётУоУгУ-г + [4],
¦Jjr* = iyi + g\oyb)\ + ёо1 у\у~\ + [4],
dy.
(6.6)
dx
- = - iy. i + ёчо УоУ-i + ёогУхУ-х + [4]-
Коэффициенты нормальной формы (6.6) вычисляются по формулам
(2.6), где значения Ъ1тп берутся из (6.5):
ёго = У> ёо1 = 6у, g20 = ё<Л = #20 = ё<)1 = --~2~ У'
Умножая второе уравнение (6.6) на у.\ = уг, а третье на уг и складывая,
придем к системе
^ = УУо {Уо + 6р2), =-------1- TP (2/S -Ь Р2)
(р2 = У1У-1 = 12/i |2)-
(6.7)
СЛУЧАЙ НУЛЕВОГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ
151
Система (6.7) интегрируется. Мы, однако, этого проделывать не будем, ибо
одного взгляда на эту систему достаточно, чтобы установить неустойчивость
ее тривиального решения при любом У Ф о.
§ 3. Нормальные формы систем третьего порядка в случае нулевого
собственного значения матрицы линейной части
3.1. Нормальная форма и нормализующее преобразование.
Вернемся вновь к системе уравнений (1,1.1), в которой, однако,
независимым переменным осталось t и Я0 = 0, ^ = -у + г со, А,-! = -у -
гои (у 0, со 0). Резонансное уравнение (1,1.6) примет теперь вид
(A, Q) = 0-q0 -y(q1 + q.i) + ico (ql - q^) = 0, (1.1)
и его решения при условии (1,1.5) суть
qi = q-1 = 0, q0 = 1, 2, 3, . . . . (1.2)
Нормальная форма (V,1,2.4) примет теперь вид
оо
8=1
ОО
- (" V + to) Vi + Vi (1-3)
s =1
oo
^r = (- у - N у-i + у-i ^ е7гУоу
s=l
где У-! = уи gi1 = gl
Следуя альтернативе п. V,3.2, выделим все значения индексов v, I, т, при
которых = Яг + Хт, и положим для них
Яоо = a{oi> = a(o-,i> = (^-^)
Формулы (V,3,2.4) дадут нам для соответствующих квадратичных
коэффициентов нормальной формы
gi = Фоо = о,оо 1 gi = = 2 ajlt gj1 = Зфо^ = 2a0li, (1*5)
а оставшиеся квадратичные коэффициенты нормализующего преобразования
определяются формулами (У,3,2.2)
lm %l+xm - X.t (v, 1,т = 0, + 1; у, 1,тфд, 0, 0; 1, (0,1}; -
1,(0, - 1}). (1.6)
152 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
Повторяя эту процедуру для кубических членов, положим Рооо - Pfooii -
Р{оо-1} - 0 (1 -7)
и затем по формулам (V,3,2.6) и (V,3,2.3) найдем
ft .,0 I О I о о j
?ч - Хооо - ^000 + ^ 2j a0ja004 i=o,±i
(1.8)
Si - Si - З/.ooi - 360oi "b 2 S (2ft0jaoi aijaoo)t
j
filmp " -j j ^ | ^ ^ ~\ (Щ;"тр "1" Щп}"р/ "b Hpj"tfm)j
(1-9)
(v, I, m, p = 0, ±1; v, I, m, p Ф 0,0,0,0;
1, {0, 0, 1}; -1, {0, 0, -1}).
Нормализующее преобразование (1,1.3) с точностью до вторых степеней
переменных включительно имеет вид
