Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
вернутом виде
оо г
•ЧГ = Е Z р^о1 + &Г-Р), р] tf-V.
Г:1Р7° (1-4а)
"4Д- = ^z ^Re "4" §цг-р), р] 2/о( pv.
Г=1 р=0
2.2. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальной
формы. Следуя альтернативе п. V,3.2, выделим все значения индексов v, I,
т., при которых Хч = А,г -f- А,т. Будем иметь в силу обозначений
(V,3,2.1)
Д<)0 = Д{1-1} - А {01} = А{0-1} = 1, Д/Пг = 0 (v, 1,74 = 0, +1; V, г, тф
0, 0, 0; 0, (1, -1}; 1, {0,{1}; -1, (0, -1}).
(2.1)
Выберем для а(т, определяемых' случаем 2) альтернативы, нулевые значения:
Ооо = а{1-1} = "{оц = аю-1} = 0- (2-2)
Для этих же значений I, т будем иметь по формулам (V,3,2.4) для
квадратичных коэффициентов нормальной формы
0 0 "0 0 f) __ о о о
gio - Фоо - aooi ?-11 - ^44-1 - 2ai-1, ^2
?fio = 2ф01 = 2а01, gi0 - 2ф0_1 = 2а0_1.
Для оставшихся квадратичных коэффициентов нормализующего преобразования
формула (Y,3,2.2) дает
V
v _______ Ш______
а'т Х1 + кт "
(v, 1,т = 0,ф\\\,1,тф 0, 0, 0; 0, (1, - 1}; 1, (0,1}; - 1, (0, - 1}).
(2.4)
Переходя к кубическим членам, снова прежде всего выделим те значения
индексов v, I, тп, р, при которых A,v = + Km + Хр
и положим для них
Рооо - P{oi-1} = P{ooi} = Р{11-it = Р[оо-1} - P{i-1-1} = Д (2.5)
§ 2] СЛУЧАЙ НЕЙТРАЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 143
где, напомним, {I, тп, р) обозначает любую перестановку чисел I, тп, р.
Для соответствующих кубических коэффициентов нормальной формы по формуле
(V,3,2.6) будем иметь (учитывая (2.2))
ёчй - Хооо ;= &ооо 4" 2 S aojaooi 1=0, ±1
Soi = ^Xoi-i = 6601-1 + 4 2 (Яо1а1-1 + ailu-io + a-ijaoi)>
}
g20 = 3xooi = 36j0i + 2 2 (2a0j^l1 -f- aljal0),
goi - 3Xu-1 = 3bJi_i 4- 2 (2ац(х{-1 -f- a_ijCtii),
j
g'20 - Зхоо-1 ~ 360o_ 1 + 2 (2a0j "1-1 4~ a-ijaho)>
got - 3xi-1-1 = 36iii__i -f- 2 2j(ai/ a-1-1 4" 2a_ijCt{_i).
i
Для оставшихся кубических членов нормализующего преобразования формула
(V,3,2.3) даст
^тр = \ + К + К-К Xi (а'за"*р +
±1
4" amj<lpl 4" apja(m) J (2.7) (v, l,m, p = 0*,+ 1; v, I, m, p ф 0, 0, 0,
0; 0, (0,1,-1};
1, (0, 0,1}; 1, (1,1, - 1); - 1, (0, 0, - 1}; - 1, (1, - 1, - 1}).
Выпишем нормализующее преобразование (1,1.3) с точностью до вторых
степеней переменных включительно, учитывая (2.2) и вещественность
исходной системы
*0 = Уо + 2Re (a?iу\) + 4Re (aSiJ/0J/i) 4- [3], (2.8)
#1 = ?-1 = У1 + aJoJ/o + ttiil/i + ot-1-ij/-i +
4- 2ao_iJ/0j/_i 4- 2aJ_i | уг |2 4- [3].
Коэффициенты здесь выражаются по формулам (2.4) через коэффициенты
системы диагонального вида (1,1.1) (6 = 0) следующим образом:
0 1 .0 0 j 0 1 j 1
Оц ~2~ 1Яц, а01 =" - ia01, (Zoo в &(r)оо>
"1 4"1 "1 1 • 1 "1 1 . 1 "1 ;-1
Оц - 1йц, ct-1-1-------------------1-1, Оо-1-----2~ 1> (r)i-1 - i(r)i-1-
Используя формулы (2.5) и (2.7), можно выписать в (2.8) и члены с
третьими степенями переменных.
144 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
2.3. Замечание о сходимости. Следуя теореме А. Д. Брюно (п. V,2.4),
начнем с условия со. Очевидно, что
I (Л, Q) | = | ?1 - ?_* |, и по определению (V, 2,4.1) имеем
со* = 1 (к = 1, 2, . . .).
Условие со (см. (V, 2,4.2)) выполнено, поскольку его левая часть равна
нулю.
В нашем случае все собственные значения матрицы линейной части исходной
системы находятся на мнимой оси и попарно соизмеримы, следовательно, мы
находимся в случае 1*), п. Y.2.4, когда условие А сводится к условию А':
Уз = ЬУза (г/о, Уи У-0 (/ = 0, ±1), (3.1)
где - правые части уравнений (1.2а). Условия (3.1) выполнены в том
исключительном случае, когда правая часть первого уравнения (1.2а)
тождественно равна нулю, а все коэффициенты правых частей второго
уравнения (1.2а) чисто мнимые или равны нулю.
При выполнении этих условий нормализующее преобразование этого пункта при
условии, что все его произвольно выбираемые коэффициенты положены нулями,
сходится в некоторой окрестности нуля.
2.4. Некоторые суждения об устойчивости. Выпишем в системе уравнений
(1.2) члены до второй степени переменных включительно; учитывая (2.3),
будем иметь
rfT° = ао:>2/о "г 2aJ_1?/1yi + [3],
= гг/i + 2aJi?/o?/i + [3], (4-1)
-J~ = - iyi + 2a01У0У1 + [3].
Умножая второе уравнение на ylf а третье уравнение - на у1 и складывая,
получим укороченную систему уравнений
+ 2aJ_1p2, -g- = 2Re а\,у 0р (4.2)
с вещественными коэффициентами и неотрицательной переменной Р = I 2/i
I (в отличие от (1.4а), где z = р2). Заметим, что
система (4.2) однородна и, следовательно, интегрируется. Это
свойство
присуще всем укороченным системам второго порядка, ибо они имеют
"размерность 1" по терминологии [234в1, § 2.
Как известно ([145а], п. 13), для того чтобы обнаружить неустойчивость
тривиального решения системы (4.2), достаточно за-
S 2] СЛУЧАЙ НЕЙТРАЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 145
метить всего одну траекторию, выходящую за заданную область
Т > to, 4 + р2 < я2
при сколь угодно малых значениях начальных возмущений
4 = Уо (То) и ро = р (т0).
Рассмотрим возникающие здесь ситуации.
I. Пусть 4> Ф 0- Рассмотрим решения системы (4.2), начинающиеся на оси
