Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
0 б + i - 1 + гб
Здесь
§ 1] СЛУЧАЙ ПАРЫ МНИМЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 139
где А = у (1 + б2)-1. Поскольку в нашей задаче а[т = О, то в силу (2.1)
aim =0 (v, I, т = 0, ±1), и формулы (2.4), (2.5) дадут нам
g°x = 6Д (и - 1) б (б2 + и2),
gi = -j- Д (б2.+ и2)1(1 - и) б + i (и + б2)].
Условие (3.4) асимптотической устойчивости примет вид (см. также (4.3))
и 1 (Lv < c^R). (4.7)
Предполагая это условие выполненным, обозначим а2 = -2Re gi = ЗА (и - 1)6
(б2 + и2),
1 tasj 1 и + а*
(4.8)
Ъ2 =
Формулы (3.5) и (3.6) дадут в этих обозначениях
Уо (т) = Уо (0)е(1 + а2 | У, (0) | 2 т)2, (4.9)
У1 М = Ух (0) (1 h а2 | Ух (0) | 2т)-'- х
X exp i [т + Ъ2 In (1 + а2 | у\ (0) | 2 т)].
Используя формулы (V,3,2.3), (2.3) и (4.6), выпишем нормализующее
преобразование (1.3):
х0
у(х-1)6 f 1 з 2R Г (Ъ + ыу 31
Уо + i + 8* 1 26 2/0 ZKeL б+зг Ч +
+ 6г/о Re ( ух) - Зг/о Re [i (б + ix)2 у\] -
- 6 (б2 +"2) уху_\ Re + [4],
(4,10)
= j/i + 4" -nrtw~ {збтг^ _ ~т1 (б +*и)3 2/1 +
+ "(б - ix)3 г/3.! - (б + ix) г/о.У1 - V+* 2/(r)У-1 +
, 3 (ё + ^)2 , 3 (б гх)2 2
-Г л а - i 2/02/1Т а б + зг УоУ-1 +
+ -|"(б2 + хг)(х -г ityhy-i + 6 -^qrr-У0У1У-1} + Kb
Для того чтобы начальные значения у0 (0) и ух (0) выразить через х0 (0) и
Хх (0), потребуется обращение формул (4.10); оно, очевидно,
140
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
сводится к перемене знака перед фигурной скобкой. Обращаясь к формулам
(4.4) и (4.9), можно выписать формулы, дающие решение задачи Коши в общем
виде с точностью до членов третьей степени переменных включительно. Мы
этого, однако, делать не будем, а выделим главную часть решения.
Главной частью решения в рамках сделанного приближения назовем решение
нормальной формы, взятое с точностью до третьих степеней переменных
включительно, преобразованное нормализующим преобразованием с точностью
до вторых степеней переменных включительно. Для главной части угла
поворота ф объекта будем иметь из (4.4), (4.9) и (4.10)
Ф (т) = 2 Re [(б + i) Х\ (т)] ж 2 Re [(б + i) ух (т)] ж
^2Re{(6 + i) ,=?}{0)_____________ X
V Yi + (&\x1 (0) |2 т
X exp ? [т+Ь2 In (1 + a21 xx (0) |2т)]| = [4 + a2 t]
X {ф (0) cos [t + b2 In (l + a2 • ф24(^б2)(0) r)] +
+ Ф'(0)зт[т+Ь21п(1 (4.11)
Выводы. 1) Определена граница автоколебаний (см. (4.7)): х = 1 (Lv -
= c±R).
2) Практическая степень точности главной части решения определяется
сравнением (4.11) с решением задачи Коши. Последнее дается формулами
(4.4), (4.10) и (4.9).
§ 2. Случай нейтральности линейного приближения
2.1. Нормальная форма. Вернемся к п. 1.1 и рассмотрим случай 6 = 0,
повторив все рассуждения до резонансного уравнения
(1,1.6), которое запишется теперь в виде
q-1 - ?i = 0. (1.1)
Итак, q0, qx - "произвольны", = qx. Разумеется (и поэтому поставлены
кавычки) Q GE 9R, т. е.
qv > -1, q, > 0 (j ф\) (v = 0, ±1),
Уо ?i + q- 1 - ?о "4* 2^1 1.
Для членов 2г-й степени нормальной формы (q0 2qx = 2г -1)
возможен следующий набор показателей степеней (индекс при Q
§ 2] СЛУЧАЙ НЕЙТРАЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 141
отмечает номер уравнения):
Qo = (-1, г, г), (1, Г - 1, г - 1), . . (2г - 1, 0, 0),
Q±i - (1, г-1, г-1), . . ., (2r _ 1, 0, 0).
Для членов (2г + 1)~й степени нормальной формы (q0 + 2дг = 2г; г = 1, 2,
. . .) вектор Q принимает значения
Q = (0, г, г), (2, г - 1, г - 1), . . (2г, 0, 0),
независимо от номера уравнения нормальной формы.
После того как найдены все решения резонансного уравнения
(1.1), запишем нормальную форму (V,1,2.4) как
~1Г = У'1 V, GWoyly-1 (v = о, + 1), (1.2)
з>о (если v-t^o) десли v=o)
0>О
или, в развернутом виде,
= iy"б, v ц sign v + */" ^ р уо1 +
Г-1 р=0 + gtir-p), р] Уо1г~р)У1У-1 (V = о, + 1).
При этом
& = 0 (г = 1, 2, . . .),
ибо, как следует из вычисления Q", в двух последних уравнениях (v = ±1)
нет членов с уЦ1.
Отметим, что нормальная форма усложнилась по сравнению с (1,1.8). И
это не только усложнение записи, но и по существу.
Во-первых, теперь число I собственных вначений линейной части
системы, расположенных на мнимой оси, равно порядку системы (I = 3) и
теорема А. Д. Брюно п. V,2.2 не дает никаких упрощений. Во-вторых, все
решения резонансного уравнения (1.1) можно представить в виде
Q = ?о (1, 0, 0) + qt (0, 1, 1)
(д0 = -1, 0, 1, 2, . ..;?! = 0, 1, 2, . . .),
где q0 и gj не равны нулю одновременно. Это означает, что число d
линейно-независимых решений резонансного уравнения равно двум. По теореме
А. Д. Брюно п. V,2.3 существует бирациональ-ное преобразование,
переводящее нормальную форму в систему (V,2,3.3) (уже не являющуюся
нормальной формой), в которой первые два уравнения образуют систему
второго порядка, а третье уравнение сводится к квадратуре. Впрочем, эту
систему второго порядка можно получить непосредственно, умножив второе и
(1.2а)
(1.3)
142 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
третье уравнения (1.2) соответственно на г/_х = ух и ух и сложив их:
^ 2/0 Xj G°oJ/°Z"' = 2z Xj Re
•>-1 s, o>0
o> 0 s-fo>0
(z = = |j/i|2). Если исходить из (1.2a), то получим в раз-
