Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Lor=i J
т оо
Уо (Т) = Уо (0) е-5т exp ^ ^ gW (sf • (3.3)
Поскольку нормализующее преобразование выбрано нами гладким (конец п.
1.2), то интегрирование в (3.1) - (3.3) оправдано.
Замечание. В случае системы (1.8) к этому же результату можно прийти,
умножая второе уравнение (1.8) на уи а первое - на ух и складывая их.
Нашей целью было проиллюстрировать п. V.2.3.
Остановимся в заключение на той ситуации в рамках общего случая, когда
вычисления, как это имело место в п. 1.2, доведены до третьих степеней
переменных включительно, т. е. когда из величин gj нам известна лишь одна
- gf. Из (3.1) найдем тогда
_ J- = 2Reg}t,
I Уг (0) I2
откуда получим
Zi (Т) = -Г
Уг (0) Г2 - 2 Re
Постоянная 2Re g{ играет роль константы G Ляпунова при исследовании
критического случая устойчивости установившихся движений с одной парой
чисто мнимых корней линейного приближения ([77а], § 40). Именно, если
постоянная Re положительна, то тривиальное решение неустойчиво. Если же
Re gi < 0, (3.-4)
то тривиальное решение асимптотически устойчиво.
136
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
Вычислим в рамках нашего приближения (и условия (3.4))
1.4. Свободные колебания следящего электропривода. Схема следящего
электропривода изображена на рис. 11. Объект (ось отработки) приводится
во вращение сервомотором через редукюр.
Для определенности примем, что в качестве сервомотора применен
электрический мотор постоянного тока с независимым возбуждением. Ток в
якоре сервомотора регулируется усилителем, на вход которого подается
напряжение V, зависящее от угла рассогласования Ф - ф роторов задающего
сельсина и сельсина, связанного с объектом (на схеме оба сельсина
заменены потенциометрами), т. е.
где ф - угол поворота объекта, Ф - угол поворота задающей оси, отнесенный
к углу поворота объекта.
Если пренебречь запаздыванием сигнала, люфтом между каждой парой
сцепляющихся зубчатых колес и трением, то уравнения
г
Т
Т
= In [1 - 2Re g{ | yx (0) |2 т] 2Re*i
^ Z\ (s) ds = ^
ds
о
о
2/o (T) = 2/o (0) e-* [1-2 Re g\ \ (0) |* x] 2 Re g\
(3.5)
1
2/i (T) = 2/i (0)[1 - 2 Reg-i | (0) |a t] 2R?g;
(3.6)
Рис. 11.
7 = / (d - Ф),
§ 1] СЛУЧАЙ ПАРЫ МНИМЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 137
движения системы можно представить в следующем виде:
ф
(•Л. + Jг) "^Г + СФ - ki3,
/(О -ф).
14+т + с'ТГ
(4.1)
Здесь Jx - приведенный момент инерции якоря сервомотора и вращающихся
частей редуктора относительно оси ведущего звена; /2 - момент инерции
объекта относительно его оси; i - ток в цепи якоря сервомотора; L -
коэффициент самоиндукции цепи якоря; R - омическое сопротивление цепи
якоря; сх (dq>/dt) - противо-электродвижущая сила, развиваемая якорем при
его вращении; ki3 - момент пондеромоторных сил, приведенный к оси
ведущего звена; с<р - момент сил сопротивления относительно оси объекта.
Примем линейную зависимость напряжения, подводимого в цепь якоря от угла
рассогласования,
/ (О - ф) = н-(0 - ф);
желая рассмотреть колебания объекта (и электропривода) при введении его в
заданное положение, положим для последнего 0 = 0. Введем базразмерные
переменные
-Vt,
+ J г
I =
R
Тогда уравнения движения (4.1) запишутся в виде
dl cr , dtp dtp
л =-6/-6ф-Хф', -^-=Ф', dx
где введены безразмерные положительные параметры
C-JI
- Ф + (4-2)
Ji + J г
х
Lv
(4.3)
(I, ф, ф')т, то система запишется в виде
kv3
Y=='cflr' ' Если ввести вектор и
du
dx
Очевидно, собственные значения матрицы С суть -б, г, -г (г = У - 1).
Приведем матрицу С к жордановой форме; будем иметь С = S diag (-б, г, -г)
S-1, где
/° ч\ - 6 - б - X
Си+ 0 , С = 0 0 1
VW 0 - 1 0
1 - 6 - IX - 6 + "X
S = 0 б + t 6-г
0 -1 + (6 -1 -гб
Матрица S определит преобразование системы (4.2) u = Sx,
138
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
х = (х0, хь х_!)т, или, в развернутом виде,
/ .= х0 - (б + ix)x! - (б - ?х)х_! = х0 - 2Re [(б + ix)xj,
Ф = (б + + (б - i)x_! = 2Re [(б + ?)zi], (4.4)
ф'= -(1 - ?б)х! - (1 + ?б)х_! = -2Re [(1 - (б^].
Сама же преобразованная система примет вид
Теперь остается воспользоваться первой из формул (4.4), чтобы представить
систему (4.5) в виде (1.1) (ajm = 0; v, I, т = 0, ±1)
= ^vXv + бооо-Хо + бщХ3 + б-1-1-пФ-i +
-j- Збо^ХдХ! Зб0[)_1х0х_1 -|- ЗбдцХоХ]^ 4" 3б0_1_1х0х_1 4~
4- 36^1_1XiX_i 4- 3^-i-iXiX^ 4- 66oi-iXoXiX_! (v = 0, +1).
бои = А (и 1)6, 6Ш = б-i-1-1 = - А (х - 1) б (б 4- ?х)3,
60о1 = 6оо-1 - - А (х - 1)6 (6 4" ?х),
бон = 6о-1-1 = А (х - 1)6(6 4" ?х)2,
6ц-1 = 6i-j-j = - А (х - 1)6 (62 4" х2)(6 4"
6oi-1 = А (х - 1) б (б2 х2), Ьдоо - 2~ А (1 4" &6),
6Ш - (1 + ify (б 4- ?х)3, 6q0i = - А (1 4- ?б)(6 4- ?х), (4.6)
6Ju - - 4-д (4 + *бХб + (tm))2, bii-i = - 4-л <62 + *2Х1 + ^),
6п-1 - ~2~ А (б2 4- х2)(1 4" i6)(6.4- ?х),
b-1-i-i =* А (1 4- "б)(б - ?х)3,
6j0-i = -у- А (1 4- *6)(6 - ix), 6^!_г =--------------1- А (1 4-
z'6)(6 - ix)2,
&U-! = 4"А <62 + "'Х1 + *бХб - **).
(4.5)
Вычисления дадут для матрицы S-
2 (1 4- б2)
2 (14-б2) 2(х+б2) 26 (х - 1) 0 б - г - 1 - г б
