Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
для всех значений индексов формула (V,3,2.1) дает Avlm = 0 (иначе говоря,
Xv Ф Xt + Хт) и ф(т = 0 (v, I, т = 0, ±1). Следовательно, формула
(V,3,2.2) справедлива для всех значений индексов:
Перейдем теперь к вычислению коэффициентов при третьих степенях. Выясним,
при каких значениях индексов имеет место равенство Xv = kt + Хт + Хр.
Очевидно, что только при I, т., р =' - {v, 1, -1}, где, напомним,
фигурная скобка обозначает любую перестановку индексов. Иными словами,
Это значит, что P{Vi-d могут быть выбраны произвольно; мы положим их
равными нулю:
Для остальных значений рimp справедлива формула (V,3,2.3). В силу (2.2) в
формулах (V,3,2.6) отличны от нуля лишь симме-тризованные коэффициенты
нормальной формы X{vi-i>- Последние очевидным образом связаны с
коэффициентами g\ нормальной
(2.1)
P{vi-i> - 0 (v - 0, ±1).
(2.3)
§ 1] СЛУЧАЙ ПАРЫ МНИМЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 133
формы в представлении (1.8)
Si = 6х<ь1-ъ s\ = ^Xn-ii Si1 = Зх-u-i
(множитель равен числу различных перестановок нижних ин-
дексов у х)- Будем иметь из формулы (V,3,2.6)
Si = 6^oi-i + 4 2j (aojai-i + aija-i0 + Я-u'Ooi), (2.4)
i=o, ±1
g\ = = ЗЬп-j -f- 2 2j (2яц-а{_1 -f- aijj-ац). (2.5)
3=0, ±1
Из доказательства основной теоремы А. Д. Брюно (п. V,1.2) следует
неоднозначность преобразования (1.3) в тех случаях, когда уравнение (1.6)
имеет хотя бы одно решение Q (не равное нулю в силу условия (1.5)). Более
подробно об этом см. п. V,2.1. Прежде чем обсуждать вопрос сходимости
(1.3), следует остановиться на определенной "ветви" преобразования.
Примем для дальнейшего, что если в тождествах (V, 3,1.6), выписанных до
четвертых,
ПЯТЫХ И Т. Д. Степеней, Коэффициенты При Yi'm'n'n'p', 8;"т"п"р"?"
(см. (1.3)) и Т. Д. обращаются В нуль, ТО у'1'т'п'р' = о, бг-т'п'р'д' = 0
и Т. д.
Это и означает, что в рядах (V,2,1.2) все hvq = 0 (v = 0, ±1; Q Er 3RV,
(A, Q) = 0), т. e. ряды (V,2,1.2) обращаются в (V,2,1.3) и сходятся
тривиальным образом.
Перейдем теперь к условиям сходимости нормализующего преобразования
(1.3). Из уравнения (1.6) видно, что .
I (A, Q) | == -f- lA^-H?!-?-!)2.
По определению (V,2,4.1) будем иметь
coh = А = inf (6, 1) (6 > 0).
Левая часть условия <в п. V,2.4 примет вид
ША.. <2-">
к=1
и условие о, очевидно, выполнено. Заметим, что случай 6 = 0 нельзя
рассматривать как предельный, хотя бы потому, что (2.6) обратится в +оо.
Случай 6 = 0 выделен в следующий параграф. Условие А' п. V, 2.4 означает
выполнение условий
Si-1 = Sr = (г = 1, 2, . . .), (2.7)
т. е. условий, что коэффициенты gr (г = 1,2,...) являются чисто мнимыми.
Это следует из вида первого и второго уравнений (1.8). Поскольку в нашей
задаче имеется лишь одпа пара сопряженных
134
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
чисто мнимых собственных значений матрицы линейной части исходной
системы, то мы имеем дело со случаем 1 *) п. V,2.4, когда условие А
сводится лишь к выполнению условия А'. Итак, условия (о и А выполнены при
выполнении условий (2.7) и по теореме А. Д. Брюно п. V,2.4 нормализующее
преобразование (1.3) с вычисленными в этом пункте значениями
коэффициентов - сходится (при выполнении условий (2.7)) в некоторой
окрестности нуля.
Что же будет, когда не все из g\, g\, . . . являются чисто мнимыми? В
этом общем для нас случае согласно гипотезе 1 А. Д. Брюно [234и]
нормализующее преобразование является гладким (бесконечно
дифференцируемым).
При выполнении условий (2.7) система (1.8) допускает первый интеграл
У1У-1 = | 2/1 I2 = Cj (cj = I i/х (0) |2 > 0), (2.8)
получаемый после умножения первого и второго уравнений (1.8)
соответственно на г/_г = уг и уг и сложения. Подставляя этот интеграл в
третье уравнение (1.8), найдем
ОО
-J"?" = (сл - 6) у0 (с?, = . (2.9)
1
Окрестность начала координат расслаивается на цилиндры с2 = const. На
каждом из них есть экватор (предельный цикл), он устойчив длд с2 < б (см.
(2.9)), хотя, строго говоря, неизвестно, будет ли этот предельный цикл
лежать в области сходимости ряда (2.9), сходящегося в силу теоремы А. Д.
Брюно п. V,2.4. При с2 8 этот предельный цикл неустойчив.
1.3. Применение степеннбго преобразования. Как следует из (1.7), число
линейно независимых решений уравнения (1.6) d = 1. Это означает, что по
теореме А. Д. Брюно п. V,2.3 система
(1.8) интегрируется в квадратурах. В (1.8) два последних уравнения
независимы. Для них матрица А степеннбго. преобразования, как это следует
из [234в], § 2, имеет вид
и само степенное преобразование запишется как
Zj = уху-х = | ух | 2, Z_j = у-х (Ух = ZxZl\, У-х = Z_j).
Применяя его к первому и второму уравнению (1.8), найдем
rflnzj rflnyj , 0V4D_"l_r
+ -i^=2ZjRegrZl'
r=l
§ 1] СЛУЧАЙ ПАРЫ МНИМЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 135
Из последнего уравнения имеем
4- \ -=т' <зл)
|yi(0)|2 zx ^ Regj;zJ r=l
и после обращения интеграла найдем
Zi = ZX (т).
Теперь очевидным образом будем иметь из первого и третьего уравнений
(1.8)
гр 00 -1
У г (т) = г/i (0) eiTexp \ ^ gUxisf ds , (3.2)
