Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 41

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 87 >> Следующая

{2ъг&1 (еУ2 + уа) - (ri - 2r2) [(еу2 + у2)2 - r2y2]}) ,
= 1,1 " -^(V+vy'"¦+vl+2^ {<r' +2r>) x
X [(eyj + v\) (eu2 + y2)-rir2i;ii;2]+e [г 1У1 (ey2 + у2)+г2у2 (ещ+с'О]} +
+ 2ri (ey2 + v2) (2evx + vx) -g2 ^ _ .^^2 {(ri - 2r2) [rir2ViV2 +
+ (ещ + vl) (ey2 + v2)] + e [r^ (ey2 + v2) - r2v2 (ещ + v[)]}^
Здесь vu y2, v[, v2 определяются формулами (1, 3.5) с заменой на т и при
ех = е2 = е. При этом yj, у(r), уД v2 выражаются формулами (1,3.6), которые
теперь дадут
= Ul° + 8г 1Г|(1 +v> (~ е2 + (г11+2г2)2 ^ + 2г*) + и2 )2 -
- Г2W2 ] 2ег2U2 (6U2 "j" U*j )} 2ri [(6U2 U2 )2 T2U2 ]
+ е2 + (Г11_2г2)2'(2ег2м"(ен2 + и2) - (Гг - 2r2) [(eu2 + u2°)2 - r2uf]}),
,0 ,0 1 / 1
У1 = Ui -1------------------------------=-------------------------!
4,ir;<i + T). (v+ft+gy <ef-" 1 -
- Г2 [ri (ri + 2r2) - e2] u(r) (eu(r) +u2)} -
- 2eri [(eu(r) + u2 )2 + r2u(r) ] + g2 ^(e(ri - гг) [(eu2 +h2 )2
- rluf] - r2 [ri (2 r2 - ri) + e2] u(r) (eu(r) + u2 )}^j,
0 0 I 1 I 1_y.
V2-U2+ ^ ^ + e2 + (rj + 2 r2)2
2'
'0
X {(ri + 2r2) [(eu? + u[) (eu?-f u2) - rir2u?u?] +
e [r 1 uj (eu? -J- U2) т2U2 (eu! -f- u2)]}
ПРИМЕРЫ
129
+ 2ri (eu(r) u2) (2eu(r) + щ)-----------------g.2 _j_ ^ _ ^^2 {(ri - 2ra)
[rir2u ju(r) +
+ {m\ + u°) (eu(r) + u2°)] + e [riuj (eu(r) + u2) - r2u(r) (eu? + u'l)]}^ ,
'°_ -°____________1___________1 / 1
v2 - щ 4г^2 (1 + Y)2 \ (r)2 + (ri + 2гг)2
X (e.(ri + 3r2) [(su? + Ui) (eu(r) + щ) - ггг2и2и2] -
¦ [r2 (ri + 2r2) - e2] [riuj (eu(r) 4- u2) 4~ r2u(r) (euJ-{- )]} -
- 2г! {e [(eu(r) -J- Ui) (eu(r) -J- u2) -J- r2U]U(r)] 4-+ e*ui (eu° + w2) -f
r\ul (ги\ + иг)} ег _|_ ^ __ 2r2)2 X
X {e (3r2- ri) [(feui 4~ Ui) (bu2 -{" ui) 4~ riTV^i^s] 4-
+ [r2 (ri - 2r2) 4- e2] [rau(r) (eu(r) 4- M - 74U? (еи% 4- u2°)]}^.
5 В. М. Старжинский
Глава VII
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Для задач теории колебаний представляют интерес типы расположений
собственных значений матрицы линейной части системы третьего порядка в
левой замкнутой полуплоскости комплексного переменного Я, изображенные на
рис. 10. Случай, аналогичный аи рассмотрен в § VI, 1. Специального
рассмотрения потребовал бы
< ) О
О |>\ /^ гч ( )
1 0" > 1
О < >
( ) О
Я/ й2 ь с d
Рис. 10.
случай а2 и предельные для него случаи, когда два или три собственных
значения совпадают, обращаясь, в частности, в нуль. Случаи b ж с
рассмотрены в § 1 и § 2; они имеют преимущественное значение. Случаю d
отводится § 3. Первый параграф завершается электромеханическим примером.
Результаты этой главы могут быть применены и к электромагнитным
колебаниям двух связанных осцилляторов, когда собственные колебания
одного из них описываются нелинейным уравнением первого порядка.
§ 1. Случай пары чисто мнимых собственных значений матрицы линейной части
1.1. Приведение к нормальной форме. Допустим, что исходная система
приведена к диагональному виду и сделана замена независимого переменного
т = at, где ±<ai - чисто мнимые
g 1] СЛУЧАИ ПАРЫ МНИМЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 131
собственные значения матрицы линеёной части dx
-jfi- = КХч + '2fljhXjXh + '2f>)hltXjXhX1t + ... (1.1)
(v = 0, +1).
Суммирование всюду ниже по два раза встречающимся индексам, принимающим
значения 0, ±1; А,0 = -б <0, А* = г, = -г. Коэффициенты ajh, Циь, . . .,
вообще говоря, комплексные, причем, и это следует подчеркнуть, они
симметрвзованы, т. е.
= ajh, byh*> = i- d. (v, j,h, к - 0, ±1), (1.2)
где {jhk} - любая перестановка чисел j, h, к, a i. d. означает
idem (то же самое).
По основной теореме А. Д. Брюно (п. V, 1.2), существует обратимая
комплексная замена переменных (нормализующее преобразование)
Xj = У] + ЪАтУгУт + 2Р ШпУгУтУп +^1тпрУ1УтУпУр +
+ ^ШпряУМ-тУпУрУд + • • • U = +J), (1 -3)
(&т/ = (r)/m> Pjimn) = !• d., ... /, l, ТП, П, p, q - 0, 1),
приводящая систему (1.1) к нормальной форме '
^- = Ку* + Уч Yj S^ylViV-i1 (v = 0, +1). (1.4)
(A, Q)=o
Здесь А и Q - векторы с компонентами Х0, Хъ и g0, qu g_i соответственно^
последние суть целые числа или нули, при этом gv > -1, а остальные qj -
неотрицательные и
Яо + ?i + g-i > 1. (1.5)
Суммирование в (1.4) происходит только по резонансным членам, показатели
степеней которых удовлетворяют резонансному уравнению
(A, Q) == q0X0 + gAi + = -6g0 + i (gt - g-i) = 0. (1.6)
Решение здесь очевидно:
Яо - 0, g-i = gi. (1-7)
Следовательно в (1.4) g0 + gi + g-i = 2дх ив рассматриваемом случае нет
форм четной степени, а для форм нечетной^ + 1)-й степени имеем = gt = г
(г = 1, 2, . . .). Итак, нормальная
5*
132
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
форма (1.4) запишется в виде
ос
оо
оо
fa - гУ-1 + У-1 • (1 -8)
Ж/-1
е?Т
оо
- б?/о +
Г=1
В силу вещественности исходной системы имеем j/_x = уи gr1 ==
= gr (г = 1, 2, . . ,)и первое уравнение (1.8) комплексно сопряжено
второму.
1.2. Вычисление коэффициентов нормализующего Преобразования и нормальной
формы. В нашем случае, как показано в п. 1.1, у нормальной формы нет
членов второй степени. В этом можно убедиться и из формулы (V,3,2.4), ибо
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed