Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
J i sign/
<*ы = ¦ ------
8г1л К + хг - х,-
(/, h, I = + 1,..., +А). (2.4)
Очевидно, что a\h = a3hi тк aZLi = all (/', h, I = =f 1 ,. . ., + k) и из
четверки величин aii, ajh, aZi-i, alj-h (или пары величин aih, aZh-h)
будем выписывать ниже только одну. Знаменатели Х/i + Хг - к] отличны
от нуля, в силу условия (2.1). Нам понадобится и обратное к
(2.2) преобразование; очевидно, что
н
У} = щ - S <4 ад + ••• (/' = + 1, • • + к) (2.5)
h, I =-/с
(у-* = у* х = 1,.. ., к).
1.3. Общее решение исходной системы (решение задачи Коши в общем виде).
Определим приближенный вид общего решения системы (1.1), отвечающий
сделанному приближению в разложении (2.2). Введем вещественные переменные
по формулам
V* = -у(У-х + Ух) - Re у" (X = 1...............к), (3,1)
§ 1] ДЕМПФИРОВАННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 125
В силу (2.3) будем иметь
ь* = -\- (Х-хУ-х + Кух) = Re (Ххух) (х = 1 ,..,,*),. . (3.2)
vx -j- 2ехдх -j- coxvx = О (х = 1, . . ., к). (3.3)
Обратное преобразование имеет вид
Уз - ^lil) (/= +1> • • •> + ^)> (3.4)
1Я
Общее решение уравнений] (3.3) запишем в виде
vx = е e*f [(rx cos rxt + ех sin rxt) v°x + sin rxt
(3.5)
vx = - e e* [ - со* sin rxt • vx + (rx cos rxt- ex sin rxt) йх]
ГХ
(x = 1,..., k),
где vx = vx (0), D(r) = vx (0). Выразим последние через начальные значения
исходных переменных их и й(r), воспользовавшись фор-мулами (3.1), (3.2),
(2.5) и (1.2):
к
vx = Re(x" - 2 ahiXhXi) =
h,l=-k
к
= ux + V Re [a?5j (X_hU(r)/,| - м"л|) (Х-гн(r)г| - йщ)],
nMk |h| 1,1
к
й(r) = Re [Xx (x(r) - ^ аыхпх{)\ -
(3.6)
, (= -k к
= й(r) + У, Re [Xxaxhl (X^ufhi - 4,). x
n,t±k |h| 1,1
X (X-iu° I - ii(r)|)] (x = 1,.. ., k). Воспользуемся теперь формулами
(1.3), (2.2) и (3.4):
их = Re (ух + 2a ыУпУд =
к
= VX- У -lgn(M> Re [ahi (X-hV\h\ - P|h|)(b-iP|i| - йт)] (x=l,..., к).
h feLk Wm
(3.7)
Формулы (3.7), (3.5), (3.6) и (2.4) выражают решение задачи Коши в общем
виде для исходной системы (1.1) при условии (2.1), для случая, когда в
разложениях (2.2) и (2.5) мы ограничились линейными и квадратичными
членами.
126 НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА В ОДНОМ СЛУЧАЕ [ГЛ. VI
§ 2. Примеры
2.1. Система с одной степенью свободы. При к - 1 система уравнений (1.1)
запишется в виде одного уравнения *)
й + 2ей + соги - / {и) + <р (й) (со > е > 0) (1.1)
при сделанных в п. 1.1 предложениях о функциях / и <р. Формулы (1, 2.4)
дадут нам
= srw-te)lf (0) + (2е*~+ 2ier)ф"(0)]'
а1-!! = oti = -rg+28- [/" (0) + "V (0)],
= ~gri't8 I/" (°) + f2(r)* - 0)2 - 2ier) Ф" (°)1
(i = V - l, r = + У со* - e*).
По формулам (1,3.7) выразим решение задачи Коши для уравнения (1.1) в
общем виде:
¦* = ¦>- 8й^) (( W <°> + <4** - < <°>1 -
- t/' (°) - (r)V (°)]} f(2e* - СО*) н* + 2ег;у + *"] +
+ 2е{ 9со2 -?s2 W (°> + - 4е4)ф" (°>1 -
- Дг [ Г (°) + "V (°)l} v (ev +b) --
- -J- [/" (0) + со*ф" (0)1 (coV + 2evv + i,2)) .
Здесь (см. (1,3.5))
v = e~et ((r cos rt + e sin rt) v (0) + sin rt • v (0)],
v = -p-e~et [- to* sinri -v (0) + (r cos rt - e sinri) v (0)}
и, наконец, v (0) и t (0) выражаются через исходные начальные значения
формулами, полученными из (1,3.6):
у (0) = И (0) + -gL ({ 9M2l-8gr [ЗГ (0) - (Зсо* - 4е*) ф" (0)] -- Дг [/'
(0) ~ <*>V (0)]} К26* - (r)*) " (°)* + 2е" (°) й (0) + й (0)*] +
+ 2е{-^8р-1/''(0) + (5со*-4е*)ф''(0)1 -
с) Можно вместо / и <р ввести F {и, и) й отдельно рассмотреть случай е >
со > 0,
§ 2] ПРИМЕРЫ 12?.
- i I/" (°) + "V (°)]} " (0) [eu (0) + й (0)] -
- -J? I/" (0) + "V (°)11"2" (°)2 + 2еи (0) Й (0) + й (0)*]} f
* (0) = й (0) + JL {[3/" (0) + (4e2 - Зсо2) Ф" (0)] x
X [e (Зсо2 - 4e2) и (О)2 -f- 2 (со2 - 2e2) и (0) й (0) - ем (О)2] -
- е [/' (0) + (5со2 - 4е2) ф" <0)] Ц4е2 - со2) и (О)2 +
+ 4еи (0) й(0) + й (О)2]) + il [/" (0) + со2ф" (0)J х X [ш?и (О)2 -f- 2еи
(0) м (0) й (О)2] -f-+ 2 {/" (0) [ей (0) + и (0)] и (0) - Ф" (0) [со2и
(0) + ем' (0)] и (0)))
2.2. Колебания массы на пружине при линейном демпфировании. Запишем
уравнения (IV, 1,5.1), изменив обозначения переменных
Т) = ии \=иг
в виде
и\ + 2eui + иг = (1 + у + Ul)[( 1 + у + ux)2 + u^-V* - 1,
и2 + 2eu2u2 ~ u21(1 + Y + ui)2 + u\] - "i+~y"U2' (2*1)
где .______
y = JT' s = +WS (е</тг?)
- безразмерные положительные параметры, а штрих означает производную по
т. Случаи Y Т/(1 + 7)^е^1ие^>1 потребуют отдельного рассмотрения.
Вычислим величины a\i по формулам (1,2.4) и выпишем только те из них,
которые отличны от нуля (с учетом сделанного сразу после формулы (1,2.4)
замечания)
+ 2X^-1, ' "22 = 8rx(1 + у)2 2Xi-X1 '
с______________________i_____________________1
^ 8rx(l + Y)2 ^ +
2 ? 1
12 8r2(l-)-Y)2 ^_i + ^_2 - ^2 '
2 ? 1
ai-2 - 8г2(1 + y)2 К+Ъ-ъ-Ъ '
2 ? 1 2 ? 1
" 8г2 (1 + yf ' an - 8г2 (1 + y)2 К '
128 НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА В ОДНОМ СЛУЧАЕ [ГЛ. VI
где
kj = -е + 1г; sign / O' = =Fl, =F2),
i = V~> гг = + Y'i - e2, r2 = + ]/
1+7
Формулы (1,3.7) дадут нам решение задачи- Коши для (2.1) в общем виде:
Ul ~ Vl ~ 8ri7 * (1 + у)2 (~ 82 + (ri + 2гг)2 ^ ^ 2г^ Х X [(еу2 + у2)2 -
г2у2] + 2ег2у2 (бУг + v2)} + 2ri [(еу2 + у2)2 + r2v2] + + ~е~+(Т;-2г2)2'
