Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
к) различны и пусть /, встречается rrij, раз, . . ., /х встречается тп1х
раз (mjl + mjx = к).
Число N различных размещений этих индексов равно
дг = - *!_ - . (5.1)
ml ml ' /
Это означает, что в сумме
тп; ! ... тп, 1 h ?х
, i ^,ah- hxh-"xh h 1
будет всего N подобных членов, содержащих xjr . . Xjk. Поэтому N и есть
множитель при переходе от симметризованных коэффициентов к обычным, т. е.
когда все одночлены в сумме различны.
3.6. Формулы для коэффициентов при четвертых степенях. При к = 4 формула
(4.2) даст
| П
В 11)2)3)1 - a),UhU Ч 2~ ahhU ^айгФЫ*1*._Ь &a)iUajt)i
i-1 n
^a)i)2;(f)i)i) 4 g~ ^а)Ьа)1)га),)1 (v, /l, /a) /31 /4 = 1,...,
ri).
i, h=1
Здесь iS означает сумму по всем сочетаниям индексов у / в первом
сомножителе из чисел 1, 2, 3, 4. Для первых двух сумм это сводится к
круговой перестановке индексов /х, /а, /3, /4, для остальных сумм у
первых сомножителей индексы /х/2 заменяются последовательно на ]\]з,
/i/4, /я/в, /я/4, /3/4. Будем иметь для симметризованных коэффициентов
нормализующего преобразования (1.2) по формуле (4.1)
1 - А?. ¦.
E>V ,* "¦ ,* /| " \
Uii?2j3i*- ^ /1) /2) /3> /4 - А> • ¦ м "/"
где Ajyj* определены в (4.1). При kj, + ки + ки + ки - \ =
= 0 соответствующие могут быть выбраны любыми. На-
конец, формула (4.4) даст симметризованные коэффициенты нормальной формы
(3.3а)
Фйjsjsj* = ^jihhU^hithh (v> hi hi hi /4 = 1> ¦ ¦ n).
ii8 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИЙ ЙОРкАЛЬИЫХ ФОРМ tf Л. V
3.7. Случай непростых элементарных делителей матрицы линейной части.
Предположим, что линейная часть произвольной автономной аналитической
системы обыкновенных дифференциальных уравнений приведена к жордановой
форме
dx °°
= Хчхч Sa+1 (7.1)
x=2
(v = 1 n; 6n = 0).
Вектор A = (Xj Xn) предполагается имеющим хотя бы одну
ненулевую компоненту; 6j 6n_j равны нулю или единице соот-
ветственно при отсутствии или наличии непростых элементарных делителей.
Все коэффициенты степенньхх рядов (равно как и ^ ,. . . . . Хп)
предполагаются комплексными числами, а сами ряды - сходящимися в
некоторой окрестности начала координат. Коэффициенты при степенях выше
первой предполагаются симметри-зованными (см. п. 3.3). Нормализующее
преобразование представим в симметризованной форме (3.2). Оно приводит
систему
(7.1) к нормальной форме А. Д. Брюно ([234к], § 0, п. II и гл. I, § 1, п.
I) 1)
~ = Kyv + 6vyv+1 + V g'vQ2/i1.--2/ln (7.2)
(А, Ц)=0
(v = 1, ... , п; 6П = 0) или, в симметризованной форме (все обозначения
см. в п. 3.3.),
-JT = Ку, + Svyv+1 + - Уы (7-3)
х=2
(v == 1, . .., п; 6П = 0).
Подставляя (3.2) и (7.1), получим в силу (7.3) аналогично началу п. 3.4
формальные тождества
О(c) СО X
21 23 ф?!-- • ¦ ¦ У)* 23 23. ^ а)У..}хУ]'1--'У]^-
1У]^У]^1+1---У)Х=
*=2?! ?х Х=2Й.....?х^=1
СО ОО
= ^23 23 aii..,x.yJ-...^x + 6v21 23 air-ix^j1 ••• ^Jx ~Ь
*=2?! jx x=2jr...,Jx
+ 23 . 21. ttir..jx П ( 23 23 a ? J. у p... у p. 'j
X=2} ]X [1=1 .V- f h }Xp h ?хц/
(v= 1,..., n; 8n = 0>.
x) В записи А. Д. Брюно в жордановой клетке единицы расположены ниже
главной диагонали, в нашей записи - выше.
§ 3] ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ Ц9
Выпишем в этих тождествах члены с к-й степенью переменных; учитывая
(7.3), будем иметь аналогично (4.1)
к-i
X
. - . '"i ~ ' л. . . • .; " *1 • л ~ • I ~ * t~- i
h
ft-1 л
x у^+1---У]х 2i ф [1 .[jl у у ••• у у +
Ж -Ж "i-wi h h~x+1
J1 'к-х-и
+ S (^j\ + ••• 4- hk - К)сЧг..}кУ)1 ¦ ¦ ¦ Узк +
jv:;)k
к
+ 2 а)\--)к 2 У)х ¦¦¦ Уь^У]^!--- У1к§ц1.Уц1.+1 = h h
k-1
= fiv 2 а]1---]кУ]1"'У]кж S. aj1--ikyj1 ••• Узк2 . S. atr..ix x
Jjc ly",7x x==2l1.--->lx
X 2 2 "•! Д •••"•x -x У.1--У.1 ...yx...yx
l1l+-+l1x=k/1 ,* 1" !\ i " ^ h ?x
(v = 1, ..., n; 6n = 0), (7.4)
где p,! ,. . ., pft_i - натуральные числа. Предшествующая сравнению
коэффициентов при yj . . . yjk симметризация несимметричных коэффициентов
здесь проводится совершенно аналогично п. 3.4. В результате тождества
(7.4) запишутся в симметрйзован-ном виде аналогично (3.9):
П
. 2 [ф^...^ + + ••• + к,-к - Ю а1г.зк] Уз1 ••• Узк +
\....5k=1
n к
j а*1" ',к l^jp+i• • • yhy^+l ~
- ft* S ^;ikyh... yh = 2 В) уik (7.5)
(v = 1,..., n; 6n= 0),
где Bj, ...jk определяются формулой (4.3). Как подчеркивалось выше, все
определяемые коэффициенты симметризованы. Из множества равных
коэффициентов, отвечающих различным перестановкам нижних индексов, будем
определять тот, у которого нижние индексы расположены в неубывающем
порядке. Итак, предположим, что у 1 у2<. . . ^ у) и допустим, что все
а?.... j* (jk ^
< h < • • • < ]"к), для которых /; < ]\, . . ., /; < )к; ji + ¦
. .
• • . + 7k < А+ • • • + jk, определены (v == 1 ,. . ., n).
Прирав-
нивая в тождествах (7.5) коэффициенты при У}г • • • У}^ получим
120 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
систему из п алгебраических уравнений для определения
и Фi. (v = 1 , л):
ф)г..;к + (^з\ + ••• + hjk - Хх) +
+ + "• + - 6iah-h = Bh-V (7-6)
Ф?г*.}к + (Xj^ + ••• + hjk - Xn-i) a?v*jk +
+ 1\а?г\}2...}к + - + -6"-ia"1...jk = BV-^'
