Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
нормальной формы содержится в доказательстве основной теоремы А. Д. Брюно
(п. 1.2). Предлагаемый здесь способ представляется нам предпочтительным
для приложений в задачах колебаний, почему он и назван практическим.
3.3. Основные тождества в общем виде и их преобразование. Унифицируя
обозначения в исходной системе диагонального вида
(1.1), нормализующем преобразовании (1.2) и нормальной форме (1.3а),
запишем их соответственно в виде
' ~ ahh'l'icr'h "Ь • • • "Ь ' ' • '^Зх "Ь •
• •
(v = 1,... , га), (3.1)
*. = У* + 2 ahhyhyh + • • • + S а 1...}кУь ¦ ¦ ¦ Уiy. + • • •
(v = 1, . . ., га), (3.2)
-fit* = Ку* + УрйУпУй + • • • + ^ ФЛ...ЗхУз1 • * ' У}к + • • •
(v = 1,..., га). (3.3)
Напомним, что коэффициенты всюду симметризованы, т. е. не изменяются при
произвольной перестановке нижних индексов:
(r)(3'i"-3x) = а(з'ь--з'х) = = (3.4)
(v = 1, . . ., га; X = 2, 3, . . . ),
112 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
а суммирование там, где не обозначено, происходит по два раза входящим
индексам от 1 до п независимо один от другого.
Будем употреблять и свернутую запись
dx 00
'dt = 2 2 4...;^;. • • • хы (V = 1, • • •, п), (3.1а)
Х=1
av= 2 2<4...;x2/j. • • • Уы (v = 1, .. . , п), (3.2а)
Х=1
W = 2 2 чй-ixVj. ¦¦¦Уы (V = . , п), (3.3а)
Х=1
где
flj - ctj -¦ cpj - (3.5)
a - символ Кронекера: 6VV = 1, 6VJ- = 0 (/ Ф v). Подставляя
(3.2) в (3.1), получим в силу (3.3) следующие формальные тождества
(основные тождества в общем виде)
Ку* + 2УииУиУъ + • • • + 2 9ji...jx2/ji • • • 2/;х 4" • • •
• • • + 2 + УЬУ& + • • • + 2 (УьУи ¦ ¦ ¦ Уы + • • •
• • • + 2/;, • • • y^Jjp.y^ ¦¦¦У,х+ ¦ ¦¦ + У h • • • Уы-гУы) + • • • =
= КУч + ^2а1нУиУЬ + • • • + К ^а1...ыУи • • • У]к + • • •
• • • + 2 aiiU (2 ад2/д + • • • + 2 ад д2/д • • • 2/д 4" • • •
ii h п-i" л 1"
• • ¦ 4" 2 "д д У л • • - Ух 4- • • •) (2а,Ху.2 4- • • •
ll" Д/с-1 1l lk-i h 11
• • - 4" 2 а!г .1У .1 • • • У Л 4" • • • 4" 2 а!г .2 У г • • •
2/ .2 ) 4" • • •
11-1" h 1" ii-ik-i h lk-1
. . . 4- 2 ah- ix (2ад.Уд 4" • • • 4" 2 ад лУл- ¦ ¦ Ух 4" • • •
ll ll ll-l" ll 1"
• • • 4" 2 ад д Ух - 'Ух 4- • . •) X ...
ii'"ik-rx+1 ii ik-x+i
• • • x (2 a ."2/ .x 4" • • • 4" 2 a .x .x2/ .x • • • у .x 4- • • •
ll ll 11-1" ll 1"
• • • 4" 2 a!x .x 2/,x • • • 2/.x 4- • • •) 4- • • •
ll-lk-x+1 h lk-x+1
(V = l,...,!").
Рыдишем в этих тождествах члены с к-й степенью переменных^
ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ
113
учитывая (3.3),
к-1 X
2 "PjLjJto • • • Узк + 2 2 2 • • • Уз^Уз^ • • • 2/;х X
х=2^=1 й,-,in
X 2 Фл* Уу--"У.Р +
.{J- .'Н- h ¦1k-x.+i li Зк-x+l
Jl>"4 J/c-x+i
+ 2 (K't + • • • + ah -ikyii • • • 2 at..-зкУи • • • Узк +
+ *2 2 <...ix 2 2 "*i .1 ...a; .x X
x=2ii,...,ix l4+...-fl*x=fc .1 -X -J1--J14 h-ty*
}1 ^X
ХУ.1---У.1 ...y.x...y.x +2 • • • Узк (v = 1,..., в),
(3.6)
Ji j(i, л j^x *
где |я15 . . ., Ць_1 - натуральные числа.
Теперь мы хотим сравнить коэффициенты при уjt . . . yjk, где 7ii • • jk -
любая фиксированная последовательность из натуральных чисел, не
превышающих п. При этом образовавшиеся в ходе вычислений несимметричные
коэффициенты должны быть симметризованы, ибо определяемые коэффициенты
подчинены условиям (3.4). Во втором члене слева тождеств (3.6) в каждом
ела-
X
гаемом суммы 2 заменим индексы суммирования следующим об-
разом: /1; . . ., /ц_1, yV+i, . . ., U соответственно на tlt . . .,
индекс /р. заменим на i, индексы . . ., ]к-х+1 заменим соответственно на
ix, ix+1, . . ., ik. Становится очевидным, что все слагав-
X
мые суммы 2 одинаковы и поэтому представим эту сумму как
^=i
к раз взято одно из слагаемых. Для симметризации последнего рассмотрим
все сочетания рг, . . рх-г по и - 1 натуральных чисел из 1к (их число
обозначим Cjj-1). Наконец индексы суммирования iPl, . . ., tp обозначим
через jv" . . ., jpx_v а оставшиеся из индексов ib . . ., ik обозначим
через /х, /х+1, . . ., ]"к.
Итак, мы проделали преобразования
X
2 2 а}(.-.}ХФ.1А .Iх уя • • • уju_i х
И=1 . .И .Ц Ji ••••>&-х-и г 1
Ji.-.-,Jx' 3\ ,.-.,J/c_x+i
X 2/J>+1 • • • yiKy (X ...у и. = И 2 . <. ф;х. .лкУи ¦ • • Угк =
Л Jfc-x+1 и,...,гк; г
(v=t1>• • -п)-(ЗЛ)
114 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
Здесь S1^1' обозначает суммирование по всем сочетаниям по
х - 1 натуральных чисел, из 1, . . ., к. Заметим, что числа . . . . . .,
)'р могут быть (и притом даже все) одинаковы, ибо они (впро-
чем, как и /х+1) • • •> j'k) пробегают при суммировании значения 1, . .
., п независимо друг от друга. Что же касается индексов у i или у /, то
все они различны - вот почему типом соединений являются сочетания.
Перейдем к преобразованию второго члена справа в (3.6). Заменим индексы
суммирования j\, . . ., . . ., j\, . . ., /?х
(рх +
+ • • . + Цх = &)-на /х, . . ., jit. Для симметризации коэффициента при
г/j,. . . у,к рассмотрим все сочетания ри . . ., pji, по рх натуральных
чисел из 1, . . ., к (их число обозначим С?'), затем все сочетания рц,+х,
. . ., по р2 натуральных чисел из оставших-
ся Л - Цх натуральных чисел 1, . . ., Л\ ри . . ., pjx, (их число
