Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
систему (1.1) в нормальную форму. Ограничиваясь членами до третьей
степени переменных включительно, получим формальные тождества (штрих -
производная по т)
У-J + (У1Ут + УгУт) + SP/mp (УгУтУр + УгУтУр + УгУтУр)^' • • -
= Х"У^ + Х^ 2 ЩтУгУт + 2 РшрУгУтУр +
+ 2a'jh (yy + 2°тУгУт) Ы + 2а-шУЯт) +
+ S Ь}нкУ}УнУк + • • • (v = 1,. .., ге),
где точками обозначены члены не ниже четвертой степени переменных. В силу
(1.3а) будем иметь отсюда
2 Ф 1тУгУт + 2 ХтрУгУтУр + 2 а1т [(^; + Хт) УгУт + Ут 2 фурУ}Ур + + Уг 2
ФзрУзУр] + 2 Р/тр(^г + + ^р) УгУтУр + • • • =
= Xv ТРЧтУгУт + X., 2 $1трУ 1>УтУр + 2 а}ЬУ]Ук + 2 а]Ь.ЩтУ}У 1У + 2 a-
ла'тУкУгУт + S ь№У^УьУк + • • • (v = 1,. .., ге).
§ 3] ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ 109
Изменяя индексы суммирования и симметризуя коэффициенты в суммах, получим
основные тождества
2 ЪтУгУт + 2 ЪтрУьУтУр +
+ (Oi/фтр + а^тфр/ + а/рф;т) УДтУр +
+ 2 (^1 + " ^v) ЩтУгУт + "Ь "" ^v) $1трУ1УтУр + •••
• • • - 2а1тУ1Ут + ^^1т/У1УтУр +
з~ У^, (НдЯтр + HjmOpi "Ь HjpOim) УгУтУр + • • • 0 -6)
(v = l,...,re).
3.2. Вычислительная альтернатива. Введем символы
" Г 1> если лч = -)- Хт,
Aim 1 0, если X* Ф Хх + Хт]
. v f 1' если А," = %i + Я-т+ Хр, lmp = 1 0, если Х,фХ1 + Хт + Хр (
- ¦'
(v, 1,т,р= 1,. .. ,п).
Имеет место следующая альтернатива:
1) Допустим, что значения v, I, т, р (и реальных параметров исходной
колебательной системы, от которых зависят А,", Xh Хт, Хр) таковы, что
круглые скобки в четвертой, а затем в пятой суммах (1.6) отличны от нуля
(Д?т = 0, а затем A/mp = 0). Сравнивая члены с произведениями г/;г/т, а
затем с yiymyP в левой и правой частях основных тождеств (1.6), заметим,
что при сделанном допущении таковой член из первой суммы, а затем из
второй суммы слева заведомо отсутствуют. Действительно, обращаясь к
представлению (1.3), запишем член с г/;г/т первой суммы в виде
У^тУгУтУ^-
Для этого члена (Л, Q) = Xt • 1 +Я,т-1 + X"• (-1) ф 0 в силу сделанного в
начале 1) допущения, а согласно (1.3) в первую сумму слева в
(1.6) входят только те члены, для которых (Л, Q) = 0. Аналогично
устанавливается отсутствие члена с yiymyP во второй сумме
(1.6) при сделанном допущении. Будем иметь, приравнивая в (1.6)
коэффициенты при членах второй степени переменных
НО краткие свёдёййя ПО тёорйи НОрмалЬнЫх Форм {гл. V
а затем, при членах третьей степени,
П
| ^ | ^ ^ jV'mp "1 [(Ijfdjnp -(- (ljrn№pl "1" ^'рЩтп
(й^фтр "Ь Оугпфр? "1" CXjp(p/Trt)]^ . (2.3)
Подчеркнем, что формулы (2.2) и (2.3), как это уже оговорено, справедливы
для тех значений v, I, тп, р из 1, . . ., п, для которых знаменатели
формул не обращаются в нуль.
2) Допустим, что значения \, I, тп, р (и реальных параметров исходной
колебательной системы) таковы, что круглые скобки в четвертой, а затем в
пятой суммах (1.6) равны нулю (А*т = 1, а затем А?тр = 1). Это означает,
во-первых, что соответствующие значения щт, а затем (Vmp, могут быть
выбраны любыми, в частности, нулями, или определенными по непрерывности
по значениям реальных параметров. Это обстоятельство отмечалось ранее
(см. условие б) в конце доказательства основной теоремы А. Д. Брюно, п.
1.2 и начало п. 2.1). Во-вторых, при сделанном допущении имеем (A, Q) =
0. Из сравнения членов с ytym, а затем с ViУтУр в левой и правой частях
основных тождеств (1.6) теперь определятся симметризованные коэффициенты
нормальной формы (1.3а): ф(т, а затем yjmp. Будем иметь
фт = АшЩт (V, I, ТП == 1, ... , п), (2.4)
п
V - V Г. у . 2 - у j ^ 3 \
^ 3
%1тр = &1тр jwmp "1 g- У } l^jl^mp "Ь ^jm^pl "Г ^зрЩш
3=1
- (a-Wmp + "утпфрг + аурфгт)]} (V, 1,тп,р = 1,... , п). (2.5)
Подчеркнем, что формулы (2.4) и (2.5) хотя и получены для случая 2),
справедливы при всех значениях индексов, именно в случае 1), они в силу
обозначений (2.1) дадут нули для соответствующих значений v, I, тп и р.
Покажем, что если в рамках случая 2) выбрано *) а[т = 0 (Xv = Яг + Хт),
то все слагаемые в круглой скобке (2.5) равны нулю. Покажем, например,
что ccj/фтр = 0 (/ = 1, . . ., п). Допустим сначала, что ДЗтр = 0; тогда
из (2.4) следует, что фтр = = 0 и наше утверждение справедливо. Остается
рассмотреть случай А]тр = 1, т. е.
+ Ар- (а)
1) При таком выборе будем иметь, очевидно, Д?т<т = 0 (V, I, ш=1, ...
• •. п).
ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОБ ВЫЧИСЛЕНИЯ
111
В" нашем случае 2) имеем A]mv = 1, т. е.
К = (б)
Вычитая из (б) равенство (а), получим Xv = -f- т. е. A=
= 1; в силу обусловленного выбора имеем ац = 0, т. е. опять-та-ки
(Zj/cpmp = 0 (/ = 1, . . га). Для остальных слагаемых в круглой скобке
доказательство аналогично, ибо они получаются из первых слагаемых
круговой перестановкой букв.
Итак, если все произвольные квадратичные коэффициенты нормализующего
преобразования выбраны нулями, т. е. если
Щт - ^ При &im - 1?
или если квадратичные члены в нормальной форме отсутствуют, то формула
(2.5) упростится
П
%1тр 1 = AImp |^mp "I [^jlCt'rnp "I" ajm(Lpi -\~ (ljp(l';Tn\(2.6)
3=1
(v, I, m,p = 1,..., ra).
Общая процедура определения коэффициентов нормализующего преобразования и
