Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
гл. I, § 2, п. I):
Пусть d - число линейно независимых Q ЕЕ 3R, удовлетворяющих уравнению
(A, Q) = 0. Существует бирационалъное преобразование (3.1) с
целочисленной унимодулярной матрицей А (а"; - целые, det А = +1),
переводящее нормальную форму (1,2.4) в систему (3.3). Первые d уравнений
этой системы'образуют систему порядка d, а остальные - сводятся к
квадратурам.
Способы эффективною построения матрицы А приведены в статье [234в].
2.4. Теорема А. Д. Брюно о сходимости и расходимости нормализующих
преобразований. Выделим в нормализующем преобразовании (1,2.2) ряды (1.2)
по резонансным членам. Сформулируем, следуя [234к] (§ 0, п. II), условия
ш, ш и А. Положим
?% = min | (A, Q)
Условие to:
Условие to:
Переходя к условию А, напомним, что всюду здесь предполагаются
выполненными неравенства (2.1). Обозначим, как и в п.
2.1, через Xt, . . ., Xt (0 I п) те из Я,", которые лежат на мнимой оси.
Условие А': Существует такой степенной ряд а (уи . . ., ул), что в (2.4)
^ = hyp (/ = 4 • • •, 0-
Перейдем к условию А". Будем различать два случая:
1*) числа Xi, . . Х{ попарно соизмеримы,
1**) среди этих чисел есть хоть одна пара несоизмеримых. Условие А". Если
А относится к случаю 1*, то в (2.5) ряды bhj (h, j = I + 1, . . ., n)
произвольны, если же А относится к случаю 1**), то существуют еще такие
степенные ряды а!+1, . . .
. . ., ап от уи . . ., yh что:
а) Если Q G 3R, (М, Q) = 0, то qH1aH1 ф . . . + qnan = 0,
б) Нилъпотентна (п - I) X (п - I) матрица
В = J bhj - бhj (Xhd + a-h) |)Г+1
(8hj - символ Кронекера), т. е. В'1-1 = 0.
Условие А (в рассматриваемом здесь случае выполнения неравенств (2.1)) -
это условия А' и А" одновременно.
по (A, Q) ф 0, qx
k=i
Zmcoju ^ ^<°°-
^<ОС.
уп < 24 (4.1) (4.2)
т-.- 1п "к
lim -*
Jf-oc 2к
ПРАКТИЧЕСКИЙ СПОСОЁ ВЫЧИСЛЕНИЙ
107
Теорема А. Д. Брюно о сходимости и расходимости нормализующих
преобразований ([234к], гл. II. III).
1) Если у сходящейся системы (1,1.1) Л удовлетворяет условию и и
некоторая нормальная форма (1,2.4) удовлетворяет условию А, то
преобразование (1,2.2), переводящее (1,1.1) в (1,2.4), является
сходящимся тогда и только тогда, когда все ряды (1.2) сходятся в
некоторой окрестности нуля.
2) Если для нормальной формы (1,2.4) не выполнено одно или оба из условий
55 ы А, то существует такая сходящаяся система (1,1.1), для которой
система (1,2.4) является нормальной формой и всякое преобразование
которой к нормальной форме является расходящимся.
Для примера вернемся к теореме Пуанкаре (п. 1.3) для случая вещественных
систем, т. е. когда прямая К - мнимая ось. Очевидно, что условие А в этом
случае "пусто" (выполнено автоматически), а (см. (4.1))
coft = min | qjA,! + . . . + ?"ЯП | min | Re | = const О,
и тогда в левой части неравенства (4.2) получим также константу, т. е.
условие и выполнено. Поскольку нормализующее преобразование в условиях
теоремы Пуанкаре к тому же однозначно, то по п. 1) сформулированной выше
теоремы оно сходится в некоторой окрестности нулевых значений.
§ 3. Практический способ вычисления коэффициентов нормализующего
преобразования и нормальной формы
3.1. Основные тождества. Допустим, что колебательная система описывается
вещественной автономной системой дифференциальных уравнений тг-го
порядка. Будем предполагать, что эта система приведена к диагональному
виду и правая часть ее - аналитическая в некоторой окрестности нулевых
значений с комплексными, вообще говоря, коэффициентами
= bvXv+2 ajhXjXh+2 ЬряхрьХь-\- .. . (v = 1,. .., п). (1.1)
Здесь и всюду ниже суммирование ведется по два раза входящим индексам,
принимающим значения 1, . . ., п, а коэффициенты симметризованы, т. е.
alj = a]h, bvuhlc} = i. d. J) (v, /, h, k = 1, . . ., n)
и всюду (a^ . . . со} - любая перестановка чисел а, Р, . . ., со.
По основной теореме А. Д. Брюно (п. 1.2), существует обратимое (но,
вообще говоря, неоднозначное и в некоторых случаях -
J) idem (то же самое - лат..).
i08 Краткие сведения по теории нормальных форм |гл. V
расходящееся) нормализующее преобразование с комплексными, вообще говоря,
коэффициентами
*У = У) +7 ОлтУЯт +Т&трУ1УтУР + ¦¦ ¦ (1.2)
(aim = aim, P\imp}= i. d.; /, I, m, p = 1,. .., re), приводящее систему
(1.1) к нормальной форме
= + у, Yj g^yf-'-yy (v = l,...,re). (1.3)
(A, Q)=0
Л и Q - векторы с компонентами Я,ъ . . ., Хп и qu . . ., qn
соответственно, при этом последние суть целые числа:
q" > -1, qs > О (/ ф v), дх + . . . + qn > 1, (1-4)
gvQ - общее обозначение для коэффициентов нормальной формы. Суммирование
в (1.3) происходит только по резонансным членам, удовлетворяющим
резонансному уравнению (см. (1,2.1))
(Л, Q) = + . • . + qn^n = 0. (1.5)
Симметризуем коэффициенты нормальной формы (1.3) и запишем ее в виде
^ = Ъу* + ^ ф 1тУ1Ут + ^ %трУ1УтУР + • • • (v = 1, . . . , ")
(1>3а)
(фт/ = ф/mi %{lmp} = 1- d. V, I, ТП, Р - 1, . . . , п).
Разумеется в представлении (1.3а) отличные от нуля коэффициенты фг'т,
"/jmp, • • • определяются представлением (1.3). Замена (1.2) переводит
