Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
расходимость) всякого нормализующего преобразования (1,2.2).
2.2.. Классификация нормальных форм и возможность их ин-тегра^рания.
Здесь будет рассмотрен случай, когда в (1,1.1)
0 (/ = 1, , , ., га), (2.1)
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СЁЕДЁНЙЙ
103
т. е. справа от мнимой оси комплексной плоскости Я нет точек Ях, . . .,
Я". Обозначим
h = - Ю + ivJ (* = V -1; / = !. • ••. п)
и, предполагая, что имеется Z (0 ^ Z ^ п) чисто мнимых сопряженных или
нулевых собственных значений матрицы линейной части исходной системы,
занумеруем переменные так, что
О = цх = цг < цг+1 < . . . < ц". (2.2)
Введем векторы
тогда
А = -М + ?N. (2.3)
Пусть V = (uj, . . ., vnY - вектор размерности и; обозначим через V' =
(Ух, . . ., гг)т вектор размерности Z и через V" = (у;+1, . . .
. . ., vny вектор размерности п - Z. Неравенство V О означает, что Ух 0,
. . ., vn ф 0. Например, согласно (2.2) имеем М' = = О, М" > 0.
Теорема А. Д. Брюно ([234к], гл. I, § 2, п. II). При сделанных
предположениях нормальная форма имеет вид
У) = hVi + У] (/ = 1, • • •, I), (2Л)
П
Уи = КУк + 2 bMyj + 2 bhqi+1. .. qh-iylll1... yl'HY (2-5)
3=(+1
{h = Z -f 1,.. . , п).
Здесь bhj, bhQl . . . qn-i - степенные ряды от уи . . ., уг; bhh = 0.
Первая сумма в (2.5) берется по тем j ф Z, для которых
выполнено (2.7), втор,ая сумма - по всем целым ql+u . . .,
qk-u
для которых выполнено (2.8).
Доказательство. В нормальной форме (1,2.4) q Ф Ф 0, только если Q ЕЕ (A,
Q) = 0. Последнее (резонансное) уравнение в силу (2.2) и (2.3)
эквивалентно системе двух уравнений
(N, Q) = 0, (М, Q) == qHllil+1 + . . . + = 0. (2.6)
Желая подчеркнуть номер уравнения нормальной формы, к которому относится
Q, будем снабжать Q соответствующим индексом. Второе уравнение (2.6)
имеет только такие решения Q ЕЕ что
Qv = 0, если v Z.
164 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИЙ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
При v '^> I решения второго уравнения (2.6) (буде они существуют) таковы,
что
Q" = ej - ev, если = pv, (2.7)
QJIQ
т
Qv Qfij Hv
j=i+i
(q} > 0,1 + 1 < m < v, \im < pv; J1 = pv). (2.8)
Итак, если v I, to ql+1 = . . . = qn = 0, т. e. г/г+1, . . .
. . ., yn входят в г|^ (см. (2.4)) с нулевыми показателями степени.
Следовательно, г|ij не зависят от у". Если v I, то Qv имеют вид
(2.7) и (2.8). Этим Q и отвечают члены, выписанные в (2.5). Теорема
доказана.
Рассмотрим частные случаи применения доказанной теоремы.
а) Пусть г = 0 и 0 < pi < . . . < рп. Тогда отсутствует подсистема
(2.4) и коэффициенты рядов в (2.5) являются константами, сама же
нормальная форма треугольна
Ум = ^мУм Н~ . . . <2v_iJ/l • • • Ум-1
(V = 1, . . ., ге), (2.9)
где сумма берется по всем целым неотрицательным qu . . ., ?v-i таким, что
К = 7i^i + • • • + Ум-iK-i
(?!+...+ gv-1 > 2; v = 1, . . ., re). (2.10)
Эта нормальная форма была получена Г. Дюляком [348]. Уравнения (2.10)
имеют конечное число решений (в условиях теоремы Пуанкаре п. 1.3 - ни
одного решения). Поэтому правые части нормальной формы (2.9) являются
полиномами. Уравнения (2.9) последовательно решаются в квадратурах.
б) Пусть Pix = . . . = Pi; = 0. Интегрирование нормальной формы (2.4),
(2.5) сводится к двум этапам: решению системы 1-то порядка (2.4) и
последовательным квадратурам, как в случае а).
в) Случай, когда имеется тп пар чисто мнимых (0 < тп V2Z) и I - 2тп
нулевых собственных значений Xj (см. [234к],
гл. I, § 2, ц. II, стр. 151).
г) Если I = ге, то теорема не дает никаких упрощений.
2.3. Понятие о степенных преобразованиях. Речь идет о возможности с
помощью бирациональных преобразований
zv = у"" ... y"vn (v = 1, ..., ге) (3.1)
(<Xv; - вещественны, А = || av; ||", det А Ф 0) понижать порядок
нормальной формы (1,2.4). Каждому коэффи-
§ 2] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 105
циенту Ф 0 в (1,2.4) ставится в соответствие точка Q ге-мерной
целочисленной решетки 3R = 3)?! (J U • • • (J Множество таких точек
обозначается (c) (Gq), т. е. множество (c) (Gq) в 3R определяется условиями
(Л, Q) = 0, Qe3Rv, Gq = (glQl ...,gnq)r?*0.
Обозначим
/In 2/Л ДпгЛ
in у = I i I, in z = ( ; I
[lnyj \ln z-J
и запишем систему (1,2.4) и преобразование (3.1) соответственно в виде
= Xi °Q ехР (1пУ-Q)>
QE(r)(Gq)
In z = A In y.
При преобразовании (3.1) член yQ преобразуется в
yQ = exp (In у, Q) = exp (A-1 In z, Q) = exp (In z, A-1*Q) = zA-1*Q
и поэтому будем иметь
^ = А^ = АЛ+ ? ЛО*А-Ч
Qe(r)(Gg)
Введем обозначения
Р = A_1*Q, GP = AGq (3.2)
и запишем последнюю систему в виде
1^- = АЛ + ^ GPzp. (3.3)
Pe(r)(GP)
Множество (c) (Gp) таких точек Р, для которых GP Ф 0, получается из (c) (Gq)
линейным преобразованием (3.2),
(c) (GP) = A-1(c) (Gq).
Система (3.3) не обязательно принадлежит к тому же типу, что исходная
(имеется в виду аналитичность в окрестности нуля). Но если она аналитична
в окрестности нуля и исходная система является нормальной формой, то
(3.3) - тоже нормальная форма (при целочисленной матрице А).
106 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
Возможность понижения порядка определяется теоремой А. Д. Брюно ([234к],
