Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
+ г/v (1 + ^v) А (г/i (1 + h), ¦ ¦ ?/"(! + Ю) (v = i,и). (2.5) Выпишем
коэффициенты при j/vyQ в v-м равенстве (2.5)
?vQ + (Л, Q) AvQ =
п
= - 23 ^vPgvR- 23 23 ^vPPi^iR + ((1 + ^v)/v}q (2.6)
P+R=Q i =l P+R=Q .
(Q?=v = 1,..., n),
где последнее слагаемое обозначает коэффициент при yQ в ряде (1 + K)fv
(У! (1 + hj), . . ., уп (1 + К)).
Множество га-мерных вещественных векторов вполне упорядочивается
следующим соотношением: вектор Р предшествует век-тору Q (Р < Q), если
отрицательна первая ненулевая из последовательных разностей:
П П
23 Pj 23 Pi ?i> ¦ ¦ ч Pn-i Яп-1 •
1 1
Очевидно, что каждому Q ?= 3R предшествует лишь конечное число векторов
из 9R. Заметим, что в правую часть (2.6) входят только такие hjp и gjn (j
= 1, • • •, п), что векторы Р и R предшествуют вектору Q. Это справедливо
для первого и второго слагаемых в правой части (2.6), так как там в
индексы входят только такие Р и R, что ~Lpj + 2rj = 2g;- и 2pj 0,
> 0, поэтому 2р;- <
< 2д^, 2 г,- < 2д;-. Наконец, {(1 + /"")/"}>,! содержат лишь
такие fej-p, что 2р; < 2д^, так как ряд xv/v (х) не содержит линейных
членов. Равенства (2.5) будут выполнены, если положить:
а) g,Q = 0; h4Q = (Л, Q)-1cvq для (Л, Q) Ф 0,
б) &Q = cvQ; Кq произвольно для (Л, Q) = 0, Q е 9RV (v = == 1, . . ., п).
Здесь c"q обозначает правую часть равенств (2.6)
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
101
Таким образом, в указанном выше порядке по Q определяются
и /г."q. Теорема доказана.
Замечание. В силу условия б) только (2.1) приводит к возможности
неоднозначности преобразования (2.2). Если (2.1) при <7Х Ц- . . . + qn =
т выполнено лишь для конечного числа значений исходных параметров
системы, то естественно /j"q определять по непрерывности, если это
представляется возможным.
1.3. Теорема Пуанкаре ([188]). Если величины . . ., Хп системы (1.1)
удовлетворяют условиям:
1) (v=l,...,ra), (3.1)
3=1
при любых целых неотрицательных р}-, для которых рх + . . . +
+ Рп > 2;
2) на комплексной плоскости X существует такая, проходящая через нуль,
прямая К, что все точки А,ь . . ., Хп лежат по одну сторону от нее,
то существует единственное обратимое аналитическое в нуле преобразование
(1.2), переводящее систему (1.1) в систему
¦^Г = ^2/х (v = l,..., п). (3.2)
Доказательство. Существование единственного формального преобразования
(1.2) (которое можно представить и в виде (2.2)) в нормальную форму (3.2)
следует из теоремы п. 1.2. Запишем выражение (A, Q) в силу (1.4) в виде:
П П
(A, Q) = + (v = 1, . .., га),
1 1
где = <7v + 1, а остальные pj = q}. Числа рх, . . ., рп неотрицательны и
рх + . . . + рп > 2. По условию (3.1) (A, Q) Ф 0, следовательно, но
основной теореме А. Д. Брюно все q равны нулю и все q определяются
однозначно (см. условие а) в конце п. 1.2).
На этом завершим доказательство, отсылая читателя для установления
сходимости преобразования (1.2) к концу п. 2.4 (см. также [188]; [96],
изд. 1-е).
Замечание. В рассматриваемом здесь вещественном случае спектр Хг, . . Хп
симметричен относительно вещественной оси. Таким образом, наряду с прямой
К условию 2) будет удовлетворять и прямая К, симметричная относительно
вещественной оси, а значит, и мнимая ось плоскости X. Поэтому достаточно
проверить выполнение условия 2) теоремы для мнимой оси,
102 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ [ГЛ. V
§ 2. Дополнительные сведения
2.1. Некоторые свойства нормализующих преобразований. В конце
доказательства основной теоремы А. Д. Брюно (п. 1.2) было отмечено, что
коэффициенты hv q нормализующего преобразования (1,2.2) однозначно
определяются для нерезонансных членов, т. е. при (A, Q) Ф 0 и могут быть
выбраны произвольно по резонансным членам, т. е. при (A, Q) = 0. Вместе с
тем, хотя структура нормальной формы фиксирована при заданной нумерации
переменных, коэффициенты ее g"q зависят от выбора коэффициентов
нормализующего преобразования. Естественно предположить, что последующие
преобразования переменных, проведенные только по резонансным членам,
будут переводить одну нормальную форму в другую. Таким образом,
выясняется смысл теоремы А. Д. Брюно ([234к], гл. I, § 1, п. II):
Если преобразование
у, = zv [1 + d, (z)] (v = 1, . . ., re), (1.1)
, (z) = 2 dv qzQ
Q&mv
переводит нормальную форму (1,2.4) в нормальную форму той же структуры,
то dvQ =0 для (A, Q) =/^ 0, т. е. преобразование (1.1)
происходит только по резонансным членам (т. е. для которых
(A, Q) = 0).
Обозначим через (у) такое преобразование
Е"(у) = г/Л1+ ^ ^QyQl (v = l,...,ra), (1.2)
L QesKv J
(A, Q)=0
рассматриваемое как "произвольная" часть нормализующего преобразования
(1,2.2). Будем предполагать, что ряды (1.2) сходятся. Этого можно
достичь, в частности, положив в (1.2) все /ц, q =0, т. е. выбрав
(у) = гл, (v = 1, . . ., га). (1.3)
Из теоремы 3 А. Д. Брюно ([234к], №. I, § 1, п. III) следует, что при
условии сходимости рядов (1.2) из сходимости (или расходимости)
некоторого нормализующего преобразования (1,2.2) следует сходимость (или
