Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
31
Естественно ожидать, что отклонения заряженной частицы от этой поверхности относительно малы, если ларморовский радиус а мал по сравнению с расстоянием до оси г. Точнее, в каждой точке существует максимальная величина wопределяемая известной энергией частицы и электрическим потенциалом U (г, z). Если Ф является монотонной функцией г в достаточно большой области изменения аргумента, то, согласно соотношению (1.16), существование верхнего предела Wrt приводит к существованию верхнего предела разности г — гі(г, С). Частица никогда не удаляется от поверхности постоянного потока на расстояние, превосходящее верхний предел, который примерно равен ларморовскому радиусу при условии, что Ф изменяется по линейному закону в рассматриваемой области изменения г. В этом смысле аксиально симметричная система обеспечивает абсолютное удержание отдельной частицы в радиальном направлении, если столкновения отсутствуют.
$ 3. Магнитный момент
При медленном изменении В в пространстве и времени магнитный момент заряженной частицы (і остается почти постоянным и поэтому представляет собой приближенный интеграл движения. Магнитный момент тока /, охватывающего площадь 5, равен IS. В рассматриваемом случае площадь S равна просто па2, где а — ларморовдкий радиус. Ток равен заряду q, умноженному на сос/2я, т. е. на число оборотов в 1 сек. Отсюда следует:
л ясо. xUmw11
где были использованы соотношения (1.2) и (1.4). Магнитный поток через площадь, ограниченную орбитой частицы, прямо пропорционален ц, так как циклотронная частота toc пропорциональна В.
32
Глава I
Рассмотрим, как меняется магнитный момент |л при изменении однородного магнитного поля В во времени. Изменение В вызывает электродвижущую силу вдоль траектории частицы. Из закона Фарадея [см. уравнение (2.18)] и теоремы Стокса следует
э.д.с. = ? E • ds = — J • ds, (1.18)
где ds — элемент длины вдоль траектории, a dS — элемент поверхности, ограниченной орбитой. Изменение кинетической энергии в единицу времени равно произведению э. д. с. на эффективный ток /; как мы знаем, ток / равен *7сос/2я. Легко видеть, что при увеличении В ток и э.д.с. направлены одинаково. Отсюда
<U9>
Скорость изменения ц можно определить с помощью формулы (1.17); умножая на В и дифференцируя по времени, находим
(1.20)
Сравнивая уравнения (1.19) и (1.20), получаем, что du/di равно нулю. Поскольку ц определяется соотношением (1.17), этот результат справедлив лишь при нерелятивистских энергиях. В релятивистском случае, рассмотренном Хеллвигом [5] и Вандервоортом [9], магнитный момент ц остается постоянным, если в формулу (1.17) внести два изменения; т следует заменить на т2/т0, где т0 — масса покоя, a W2l и В нужно измерять в движущейся системе координат, где Е± отсутствует.
Любая величина, которая, подобно магнитному моменту ц, не меняется при медленных изменениях электрического и магнитного полей, называется адиабатическим инвариантом. Вообще при всяком периодическом движении с одной степенью свободы интеграл pdq по орбите является адиабатическим инва-
Движение заряженной частицы
33
риантом; здесь р — обобщенный импульс, соответ-ствующий координате q. Другой важный вид адиабатического инварианта рассматривается в следующем параграфе.
Магнитный момент ц, оставался бы строго постоянным, если бы заряд электрона был равномерно распределен по окружности вращения. Степень постоянства магнитного момента зависит от скорости изменения В. Физически очевидно, что если В меняется за время, в течение которого электрон проходит малую дугу окружности вращения, то выражение для линейного интеграла от E вдоль траектории, которое использовано в формуле (1.18), неприменимо, и dp/dt не равно нулю. Однако если предположить, что dBjdt пропорционально соВ, и решить уравнение движения с точностью до членов первого порядка по о)/о)с, то в этом приближении d\i/dt обращается в нуль.
Степень сохранения такого адиабатического инварианта, как магнитный момент ц, тщательно исследовалась при учете членов более высокого порядка по юДос. Крускал [6] показал, что фактически Дц — приращение ц, обусловленное изменением В, — равно нулю при учете членов всех порядков ПО to/toc- Чтобы получить этот результат, относящийся к полному времени изменения В, нужно определение ц через мгновенные значения WhB видоизменить так, чтобы включить члены более высоких порядков по ю/сOc. Если ц определено в момент обращения в нуль dB/dt и всех производных высших порядков, то соответствующие члены, по определению, равны нулю. Эти результаты относятся к асимптотическому разложению Д|А В ряд ПО ВОСХОДЯЩИМ степеням 0)/0)с и отнюдь не означают, что Дц строго равно нулю. Например, изменение In Д(л, пропорциональное —(ос/ю, согласуется с асимптотическим разложением, в котором обращаются в нуль члены всех порядков по (о/о>с.
Рассмотрим теперь изменение ц, в том случае, когда В меняется вдоль траектории частицы, но
34
Глава I
в каждой точке не зависит от времени. Пусть вращающаяся частица попадает в область большого поля. В этом случае силовые линии поля сходятся, и магнитное поле имеет составляющую Brf направленную к силовой линии, вдоль которой движется ведущий центр (фиг. 3). Эта составляющая вызывает появление замедляющей силы, параллельной направлению движения частицы.
