Допуски и качество оптического изображения - Сокольский М.Н.
ISBN 5-217-00547-5
Скачать (прямая ссылка):
Wh (Pk) = W0Ok + ^20k Il Pk If + WtUPh + ? QkjPj Ы> (2-53)
/=з
где W00ft — постоянная составляющая (дефазировка); W20k — дефокусировка k-ro элемента; WnKPfe — поперечное смещение,
WhkPk = WiixPk COS ф? + WnffP* Sin (Wnx, Wily — проек-
ции коэффициента волновой аберрации поперечного смещения на осях X, Y; pft, cpft — полярные координаты точки на элементе). Коэффициенты Woofe, W2Oft, Wnx, Wiiv выражаются через линейные смещения AIk в продольном направлении, углы наклона Ga.,. 9у — следующими формулами:
w __ A/ft (n'-к). 1К/ _ A/ft [ sin2qAfe si"2 aAk " .
wOOk-- I . -, - j,
Wiu = -??- (n' - л); Wuy = -??- (n' - л), (2.54)
где a^fe, ал/г — апертурные углы элемента в пространстве изображения и предмета соответственно; Dh — диаметр k-ro элемента (в мм) для бесконечно удаленного предмета. Для зеркальной поверхности п' =—п = 1. Тогда
ш __ 2 A/ft . 1К/ AfftSta^it ^ootstfg^ > И^оой— —» Wzoft— Jj^ —-§-'
Wux = -^s-; Wuy=^-. (2.55)
Деформация поверхности k-ro элемента определяется последним членом выражения (2.53) и описывается выражением (1.20) или (1.21). Положим, что элементы изготовлены идеально, т. е. отклонениями формы поверхности можно пренебречь. Кроме того, из (2.55) видно, что коэффициент W2Ofe в sin2 o'Ak/8 меньше Wooft и им можно пренебречь. Действительно, например, при апертуре sin OAk =0,125, т =6 W 20fe < 0,001 W0Ofe- Тогда выражение (2.53) приводится к виду
Wh (Ph) =Wook+Wlph. (2.56)
9 М. Н. Сокольский 129 После подстановки (2.56) в (2.52) и (2.51) получим
D (г)
X
S PozeexP [2™ (rOOft+ 'tPcJ] *
ft=1
ехр [2niWhkPkl ехр [2m'pVJ dQh
(2.57)
Формула (2.57) позволяет найти ФРТ синтезированной апертуры при различных наклонах и смещениях элементов.
Влияние погрешностей расположения элементов на качество изображения. Рассмотрим влияние погрешностей расположения элементов на средний квадрат деформации волнового фронта и число. Штреля. Из (1.38) W2ckb =[W2 — (W)2]0'5 в соответствии с выражением (2.56) для''Wckb имеем:
W
W2
гп
ТІг2 lHl+
k—2
m
Ir 2 рг Я +WJik9k)2 dQ
ft=2
Выполняя интегрирование и полагая для простоты, что все элементы одинаковы и имеют форму круга, находим:
т
W = У, Wmk = W00;
ft=2
171 ^J
ft=
W2 1 v 1 1
2 ( ^OOft + Il II2) = + -T '
ft=2
где I W11 k I2 = W2u xk + Wii yk. Тогда
1 Ш2 I0'5
Wckb= [ W200 -(Woo)2- -J- Wil
(2.58)
Число Штреля определяется выражением (1-40) 5 = = 1 - (2яА)2 W2KB-
Для доказательства применимости формул (1.40) и (2.58) найдем точное выражение для числа Штреля S в случае наличия только смещений W0Oft- Из выражения (2.57) получим
D (г) = [
2 J1 (2кг) 2пг
2ехр [2ш' O^ooft - WooO +
130-
in in in in
x 2 2 m+2 2 2 cos[2jt ^ooft—+rT ^pcfe ~ pc^1
k=t i=k+і
Из этой формулы для числа Штреля| S находим
5 =
тй
т
+ 2^ 2 cos [2п (W00k - W001)
(2.59)
Положим, что смещается только один элемент, например первый, т. е. ;a0()l = а00; а00ь
an0h =0; k =2, ..., т. Тогда
S =
4 (т— 1)
т
Тії III III
+ 22cos(2jt№0o) + 2? 2
I= 2 k=2 l=k+2
n2(nW20); Ssl - (2л
1 -
^oo)2
(2.60)
Для этого случая W
Wc
Wmlm-, іWi = Woo/m. Тогда
\2 '
PSM^)2]=^/^/-». (2.6,)
Из сравнения формул (2.60) и (2.61) видно, что значения Wckb, рассчитанные по точной и приближенной формулам, совпадают. Таким образом, по формулам (1.40) и (2.58) можно оценить качество изображения при наличии погрешностей установки элементов синтезированной системы или зеркала.
Расчет допусков расположения элементов синтезированной системы. Для решения вопроса о допустимых значениях смещений и наклонов элементов воспользуемся аппаратом математической статистики. Положим, что технологические погрешности распределены по нормальному закону и при этом дисперсии всех смещений одинаковы и равны а дисперсии всех наклонов Примем допуск смещения равным ±2а^00, а наклона ±2oWli. Найдем математическое ожидание (МО) числа Штреля. Для смещений (при отсутствии наклонов можно воспользоваться точной формулой (2.59)
т т
MO(S) = -^r т + 2 ^ 2 М0 tcos 2л (rOOh - ^ooi)]- (2^2)
k=i i=k+1
Так как смещения Wook, Wm статистически независимы, рас-
2
пределены по нормальному закону с дисперсиеи а^ и нулевым математическим ожиданием, то случайная величина х = Woofe —
9*
131 W00I будет распределена по нормальному закону с дисперсией
2аа- Тогда
OO
МО [cos (2ях)\ = ( cos 2лх —— J V 4я
ехр
4ст;
dx =
•і/ 4я Cth7 = ехр (—4я2о&г,0).
После подстановки полученного выражения в формулу (2.62) находим
МО (S) = -L
х ' т1
т
+ ехр (-411? J 2 2 2 1
k=\ i=k+і _
-ехр ( 4я2Он700) -f
(2.63)
При смещениях и наклонах следует воспользоваться приближенными значениями (2.58) и (1.40):
МО (S) = I- 4л2 [МО (Woo) - МО (W00)2 + ^-МО (Wh)],
где
2
МО (Wo2o) =™2 М0 k=i
т
МО (W00) = ± 2 MO(Woofe) = O;
fc=i
tu
МО (F?,) = ^2 [мо + мо = 2a^'
Таким образом,
МО (S)=I- 4я2 [o2Wa0 + 0,5a2ru].
