Допуски и качество оптического изображения - Сокольский М.Н.
ISBN 5-217-00547-5
Скачать (прямая ссылка):
В большинстве случаев P (?\ у') принимается равным единице в зоне зрачка и нулю вне зоны.
ФРТ обычно выражается в долях освещенности центра изображения точечного объекта для идеальной (безаберрационной) системы D0 (О, О). Из (1.1) следует
D0 (О, О) = R2Dp/Ki Ы (Л')2Р,
7 где A' = sin о а — задняя апертура оптической системы (о'д — апертурный угол). Тогда для относительной нормированной освещенности получим
D (У', г') =
1
[л (Л')2]2
JJ F (?', у') exp [ik ф'у' + y'z')] d?' dy'
Для удобства дальнейших вычислений введем нормированные координаты ?, у, г|':
P = ?'/ok; У - y'/а'л-, V = У'A'A; if = z'A'/К. (1.3)
В координатах (1.3) для ФРТ получим
D (y', I1') =
JJ F (р, у) ехр [2пі (Р?' + тл')] d? dy
(1.4)
Для идеальной оптической системы F (?, у) = 1 и ФРТ представляет собой квадрат модуля преобразования Фурье функции выходного зрачка. ФРТ имеет следующий вид:
для зрачка кольцевой формы с центральным экранированием, равным є,
D (г)
(1-е2)2
2J, (г)
С2 2-MeZ) .E Z
где Z = krA', г = у у" + г"; J1 — функция Бесселя первого порядка;
для зрачка круглой формы
D (г) = W1 (Z)IZW
для зрачка прямоугольной формы с апертурами А', А" в меридиональном и сагиттальном сечениях соответственно
D (у', г') =Sinc2 Iky'A'] sine2 Ikz'А'].
Реальное значение освещенности в точке (y', z') находят по формуле
Dp (y', Z') = R2DpKi (А')* тD (y', z')A2, (1.5)
где т — коэффициент пропускания оптической системы.
Для осесимметричных функций F (?', y') и зрачка выражение (1.4) приводится к преобразованию Ганкеля и нормированная ФРТ имеет вид
і
D (г0)
J р ехр [2niW (р)] J0 (2ярr0) dp
(1.6)
где р == i/?2 + у2 — каноническая координата на выходном зрачке, 0 <; р <; 1; J0 — функция Бесселя первого рода нулевого
Уґ + її'2.
порядка; г0 8 ФРТ (Dc) для системы, состоящей из ряда последовательных звеньев, при соблюдении условий линейности и изопланатичности находят как последовательную свертку ФРТ элементов:
Dc = D1 ® D2 ® D3,
где <g) означает знак свертки.
Полихроматическая ФРТ D2 (у', г') может быть вычислена сложением ФРТ для различных длин волн в конечном рабочем спектральном диапазоне X1 = Xmln-^-X2 = Xmax:
D2 (у') = ITj- f T- d^ (у2') dx, (1.7)
к
где q (X) — функция относительной спектральной эффективности;
г') — нормированная монохроматическая ФРТ для длины волны X.
Функцию q (X) определяют по формуле
q (X) = ? (X) т (X) s (X)1 (1.8)
где В (X) — относительная спектральная яркость источника; т (X) — относительное спектральное пропускание оптической системы; S (X) — относительная спектральная чувствительность приемника.
Функцию q (X) нормируют таким образом, чтобы ее наибольшее значение было равно единице: ^max (X) =1.
Удобно вместо длины волны X ввести безразмерную относительную спектральную координату изменяющуюся от —1 до +1 [42],
X= (Х-X0VAX, (1.9)
где X0 = 0,5 (Xmax + Xmln) — центральная длина волны; AX = = 0,5 (Xmax — Xmln) — полуширина рабочего спектрального интервала.
Тогда выражение (1.9) преобразится к виду
і
ZW. г') = --і- Tlkiy'Ivd^ (1Л0>
<?(х) AX
і (HbO
\2 о
Распределение интенсивности или освещенности I (у', г') на изображении объекта конечных размеров О (у, г) для оптических систем, удовлетворяющих условиям изопланатичности и линейности, определяется сверткой функций объекта и ФРТ:
/(/, z')=\\0{y, z) D (y' — у, z' z) dy dz. (1.11) Оптическая передаточная функция (ОПФ) d (ja, v)' представляет собой Фурье-преобразование функции рассеяния точки
OO
d (ja, V) = J} D (у', г') ехр [2Jii (Mf' + VZ')] dy' dz', (1.12)
-OO
где Ji, V — пространственные частоты в плоскости изображения. ОПФ — комплексная величина, модуль ОПФ — | d (ja, v) | = = t (ja, v) — частотно-контрастная характеристика (ЧКХ), а аргумент ОПФ — ф (ja, v) — частотно-фазовая характеристика (ЧФХ):
d (ja, v) =T (ja, v) ехр [іф (ja, v)].
Распределение освещенности I (y', z') можно определить другим способом. Из теоремы Фурье-преобразования [37] вытекает, что
і (ja, v) = о (ja, v) d (ja, v), (1.13)
где о (ja, v) — Фурье-преобразование распределения яркости на объекте; і (ja, v) — Фурье-преобразование - распределения освещенности на изображении. Тогда обратное Фурье-преобра-зование дает
OO
/ (y', z') =JJj (|Х. V) ехр [-2яі (JAу' + vz')] djA dy. (1.14)
-OO
В данном случае распределение яркости на объекте есть спектр синусоидальных составляющих элементарных гармонических объектов. Элементарный гармонический объект (рис. 1.2, а) представляет собой синусоидальную решетку с бесконечно протяженными полосами, ориентированную под углом 0 к оси Z и характеризуемую периодом 1/v, смещением Ь, амплитудой и, углом на-
10 клона 0. Изображение элементарного гармонического объекта (рис. 1.2, б) имеет синусоидальное распределение освещенности, амплитуда которого и' = иТ (ji, v). Очевидно, что амплитуда объекта умножается на значение ЧКХ на частоте ve, а смещение изображения объекта вдоль направления 0 составляет ф (ve)/(2nve), т. е. значение ЧКХ на частоте V0 делится на величину 2nve.
