Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
ft, I
(4.6)
ft
(4.7)
r = \x-y\,
получаем
(4.9)
14 Заказ JSIb 214
210 Маркус Фирц
Для X Ф 0 средняя плотность q определяется как
Ъ(0, X) = q. (4.10)
Тогда Q0 - 0, а значение Я = 0 соответствует точке конденсации бозе-газа,
в которой следует положить
е = ео + М°>°)- О-Ц)
Таким образом, 6(0, 0) означает плотность газовой фазы, q0 - плотность
конденсированной фазы, причем плотность q остается фиксированной.
Применение большого распределения законно также и в области конденсации,
поскольку можно показать [19], что и в этом случае относительные
флуктуации Nk малы.
Асимптотическое поведение b (г) при условиях k0r > 1 и X < 1, когда можно
заменить на k2/kl-\-X, выражается
формулой
b(r'V~i?4?-- <412>
Следовательно, в области конденсации флуктуации снова становятся
аномальными. В основном они определяются слагаемым 2 Q0b(r),
соответствующим интерференции между основным состоянием, т. е.
конденсатом, и газом. Флуктуации числа частиц в объеме и выражаются в
этом случае соотношениями
Дп2 = п0п\/*, п0 = q0p, пг = b (0, 0) V.
Аналогичное вычисление можно процести и для ферми-газа. Для этого случая
получаем
(е (*) я (у)) - (е>2=y 6 (х - у) - /2 (г)>
+оо
х/ \ 1 Г к sin кг dk // Л о\
W-i5jv ) • <4ЛЗ>.
- ОО 1
Конденсация здесь не наступает и члены с q0 отсутствуют.
Рассмотрим теперь случай очень сильного вырождения. Пусть К = | X |1/2-
к0 (причем к0->0, а К- конечная величина). Тогда имеем
f(r) = ^2Ta (sin Кг - Кг cos Кг), (4.14)
2л2 г3
" бя2
f(0) = ±K* = Q. (4.15)
Статистическая механика
211
Для квадрата флуктуаций числа частиц п в сферическом объеме радиусом R
находим
Д^ = И-2[]ёА'/?-1,588...], (4.16)
ИЛИ
Ап2 ~ п2 sign. (4.17)
Таким образом, и в этом случае флуктуации оказываются аномальными. Они
гораздо слабее, чем в классическом идеальном
газе, но не исчезают даже при полном вырождении. Однако они
пропорциональны не объему, содержащему рассматриваемые частицы, а
граничной поверхности этого объема. Большое каноническое распределение,
как известно, приводит к результату Дгс2=0, так как оно не учитывает
никаких поверхностных эффектов.
§5. ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ И ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ
Если можно вычислить йдг (Е, V) или ZN (Г, V) для механической модели,
описывающей, например, N атомов в объеме V, то будут известны и уравнения
состояния этой модели.
Если ф (г)- потенциал взаимодействия двух атомов на расстоянии г, то
существенную задачу представляет вычисление конфигурационного интеграла
состояний
Qn(T, ^) = у^ I (dqfexр Г - 2 ф (?" - ] . (5.1)
V i>fc
Эта задача в общем случае оказывается неразрешимой. Однако в принципе
поведение системы при всех температурах и плотностях определяется
интегралом (5.1); следовательно, явления конденсации и кристаллизации
газовой модели также должны описываться формулой (5.1).
Термодинамически фазовые переходы проявляются как разрывы в уравнениях
состояния или в производных. Однако не следует считать, что (Т, V)
будет иметь разрывы. Особенности
могут появиться только в пределе N, V-->co. При этом предельном переходе
N/V остается фиксированным, и поэтому целесообразно перейти к большому
каноническому распределению, потому что для больших систем N/V
определяется химическим
14*
212
Маркус Фирц
потенциалом X. Для Qn положим
оо
р (Z, т, V) = 2 Z"QN (F, Т), Q0 = 1. (5.2)
о
Уравнение состояния определяется предельными значениями ?=lim i-
lgP(z,2\F), (5.3)
<5'4>
где р - давление; р - плотность.
Ли и Янг [20], а также ван Хов [21] доказали, что для всех положительных
действительных значений z предельное значение (5.3) существует независимо
от формы V и представляет монотонную непрерывную функцию z. Производная
(5.3) по z может быть прерывной. Положение разрывов соответствует точкам,
в которых происходит фазовый переход.
Если мы предположим, что функция ср (г) для г > г0 становится очень
большой и положительной, то это будет означать, что атомы имеют
собственный объем v0. Следовательно, N всегда меньше N0=V/v0. Поэтому
P(z, Т, V) будет полиномом по z степени N0. Следуя Янгу и Ли, на этой
модёли можно выяснить, каким образом и при каких математических условиях
ряды
(5.3) и (5.4) в пределе V->оо могут стать сингулярными. Нули P(z),
которые мы обозначим ?а, расположены на комплексной плоскости z, причем
на действительной оси нулей нет. Теперь, шолином Р можно разложить на
линейные множители, и тогда получится
-i-lgP(2) = 4-2lg(l-fJ. (5.5)
а
В предельном случае очень больших объемов введем на плоскости ? плотность
нулевых точек d\x(^,T) и запишем
]&= $dn(?.r)ie(i-f). S = ± (5.6)
Легко видеть, что p(z) соответствует потенциалу, порожденному плотностью
заряда dpi(?). Поэтому на действительной оси z потенциал p(z) может стать
сингулярным только тогда, когда эта ось пересекается в точке z с кривой,
содержащей конечный
Статистическая Механика
213
заряд уже в окрестности z0. Следовательно, при предельном переходе нули
на этой кривой должны сгущаться около z0. Скачок плотности числа частиц
