Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
искомой.
§ 5. СИЛЬНАЯ И СЛАБАЯ ЛОКАЛЬНОСТЬ;
ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО СРТ1)
Локальностью называется требование, чтобы физические величины,
построенные из операторов поля путем локальных операций, коммутировали
для пространственно-подобных интервалов. Несколько иное требование, из
которого в разумных теориях следует первое, гласит, что два произвольных
оператора поля в точках, разделенных пространственно-подобным интервалом,
должны или коммутировать или антикоммутировать. Это требование сильной
локальности приводит к расширению области регулярности для И^-функций.
Для обсуждения этого вопроса мы введем новые обозначения. Положим
(0) ' (1) (N)
5Tv (х0, хг .. . , XN)= (^V0 {Xq) \[)Vl {хг) - - . tyvN (xn))0 (^1> и для
комплексных векторов (z0, zl ..., zn)
Wv(zQ,z1 . . ., zN) = Wv(z1 - z0, z2 - Zj, zn-zN-i). (5.2)
!) Cm. [31].
154
Pec Иост
Функция W регулярна, если (z1^z0, z2 - zlt . .., zjy - zn-i) лежит в M'N.
Область, определенную таким способом, мы обозначим через (S/v,
содержащиеся в ней действительные точки - через (г0, гг . . ., rN). Из
теоремы, приведенной в § 4, следует, что для i Ф к имеем (rt - rfe)2 < 0.
Эта система неравенств, однако, в общем случае ничего не дает. Поэтому из
локальности следует
(0) (1) (N)
(*К (г0) Фу, (у) • • • 1Кг(Ы> 0 =
(у (у (kN)
= ° (Гк0) фу^ (rkl) ¦ ¦ ¦ фу^ (ry))o. (5-3)
причем or означает знак перестановки антикоммутирующих полей. Вводя ^-
функции, перепишем (5.3) в виде
Tv(Г0, гг rN) = аТv(rkg, rki rky). (5.4)
Функция Wv принадлежит операторам поля, полученным при перестановке.
Очевидно, равенство (5.4) можно аналитически продолжить. Таким образом
доказывается по меньшей мере регулярность функций в наименьшей
инвариантной относительно перестановок z0, z1 . . ., zn
области, содержащей Sjy. Мы не
будем обсуждать вопрос о том, исчерпывается ли этим силь-
ная локальность [37].
Далее, среди (TV+l)! перестановок zh существует одна и притом только одна
нетривиальная перестановка, не приводящая к увеличению области
регулярности Она имеет вид
(0) (1) (N)
• • • Фу^(Ы)о =
W (1) (0)
= ° (Фу* Ы.- • • фу, (у) фу0 (г0))о (5.5)
или (в достаточно ясных обозначениях)
W ^ (z0, z1 ..., zN) = oW ${ziv . . ., zv z0). (5.5a)
Если (?x ... ^n)6^n, где ?k = zk - zk_lt то будем иметь { - ^Nt - tiv-i •
• •" """ ?i) G 31n, поскольку при операции PT эта точка переходит в точку
(?лг, ?n-i •••, ?i), и определение М'к симметрично по векторам Ц. Если в
теории выполняются только перестановочные соотношения (5.5) и (5.5а)
(конечно, это относится к действительным точкам З/у), то такая теория
будет называться слабо локальной.
Принцип Паули и группа Лоренца 155
Следует отметить, что формула (5.5) приводит к соотношению для средних
значений по вакууму в произвольных точках я0, хх, .. ., xN. Именно,
сначала из (3.1) и наших определений получаем, полагая А = РТ для
действительных точек в <B'n,
(0) (1) (IV)
(Ф\ (г0) Ф\ (О) . . . l|)Vjv (rN))о =
(0) (1) (IV)
= ( - 1)" (фу0 ( - Г0) ( - "i) . . . 4"vw ( - rN))о,
или, учитывая (5.5),
(0) (1) (IV)
<'1Ч(г0)фЛ,1 (l-j) ... фvN(rN))o =
(N) (1) (0)
= (-l)nCT(T|)Vjv(-/-iV) ... ^(-гО^Д-Го)),,
и, наконец,
(0) (1) (N)
(^v0 (Г0) ^ W • • • ^vN (rN))о =
(0). (1). W
= (- 1)" a (< ( - г0) г|>* ( - rx) .. . ( - rN))$. (5.6)
При этом n означает число индексов без точки, появлявшихся в (vo> vi •••"
v/v)- Но соотношение (5.6) можно аналитически продолжить. Для этого
определяем
(0). (1). (N)
<фу0 (х0) (ail) • • • ^V)V (xN))o = WV (h • • •. Ы. (5-7)
после чего соотношение (5.6) для lh = Qk принимает вид
wv& 1 .... bv) = (-i)n^(-ef -$). (5.8)
Аналитическое продолжение теперь очевидно. Сущность преобразования ?fe->-
?* состоит в том, что оно переводит MN в саму себя. Поэтому в обеих
частях (5.8) можно перейти к действительной границе М, и тогда с помощью
(5.7) и (5.1) получается искомое соотношение
(0) (1) (IV)
(Фч>0 (Хо) (ail) • • . ф% (xN))o =
(IV) (1) (0)
= (- 1)п а (фг%. (-%)... ф^ (- хх) фГо (- х0))0. (5.9)
Относительно рассуждений, позволивших получить. (5.9) из (5.5),
необходимо сделать следующие замечания.
156
Pec Иост
1) Достаточно предположить, что соотношение (5.5) выполняется в
действительной окрестности произвольной точки (г0, гх ..., гдг).
Справедливость соотношений (5.5) для произвольной точки (г0, гг ..., гдг)
доказывается аналитическим продолжением.
2) Из соотношения (5.9) можно вывести снова (5.5). Для этого необходимо
заменить в (5.9) (х0, хг ..., xn) точкой (г0, гх ... Гм) и затем
воспользоваться уравнением, аналогичным первому после формулы (5.5)
уравнению. Таким образом, уравнения
(5.5) и (5.9) эквивалентны.
3) Если можно найти такое преобразование 0ф = ф', при котором правую
часть уравнения (5.9) можно привести к виду
(N) (1) (0)
(ф-удг (xn) (^i) Фу0 (жо))о" то Т0ГДа б будет антиавтоморфизмом
теории (т. е. автоморфизмом с точностью до обращения порядка
сомножителей)1). Наиболее важное значение при выборе имеет
преобразование, впервые найденное в общем виде Паули:
