Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Смородинский Я.А. -> "Теоретическая физика 20 века" -> 59

Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.

Смородинский Я.А. Теоретическая физика 20 века — М.: Иностранная литература, 1962. — 443 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayafizika20veka1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 171 >> Следующая

Д. Доказательство. Полагая ?(ср, х) = ?(ф, Х) + + ni(cp> X), находим
Условие (3.5), а также условие А > 0, следующее из (3.6) и (3.8),
определяют интервал ср в секторе |ср| < л, содержащий ср = 0, причем
длина интервала меньше л. Обозначим через ср0 середину этого интервала.
Тогда |ср0|<я/2 и
/ cos ср i sin ср 0 0
i sin ф cos ф 0 0
(3.4)
т)° (ф, X) = 11° cos ф +11 sin ф > 0, (т)(ф. Х))2 = А-В> 0,
(3.5)
(3.6)
причем
А - (т]° cos ф + S1 sin ф)2 - Сп1 cos ф + sin ф)2 (3.7)
и
В = (rj2 ch х - sh X)2 + Ol3 ch X +12 sh x)2. (3.8)
A- a2 cos2 (ф - ф0) - P2 sin2 (ф - ф0),
(3.9)
так что I ф - ф01 < jt/2.
Принцип Паули и группа Лоренца 151
Совершенно аналогично можно преобразовать к диагональному виду и В:
В = у2 ch2 (X - Хо) + б2 sh2 (X - Хо), (3.10)
причем всегда появляются особые случаи rj2 = eg3, rj3 = - eg2 при е = ±1.
В этих случаях (3.8) принимает вид
? = Y2e±2*. (3.11)
Однако теперь для нормального случая в соответствии с предпосылками
получаем для t- 0 и t =1
F (t) = (а2 + р2)1/* cos (Щ - ф0) -
-{P2 + Y2 + (Y2 + 62)sh2(<x-X0)}1/2>0. (3.12)
Но теперь легко найти F" (t) < 0, по крайней мере если cos(ftp - ф0) > 0.
Однако это выполняется для 0<?<1, поскольку | ф01 < я/2 и | ф - ф01 <
я/2. Следовательно, F (?)- выпуклая функция на интервале 0<?<1, и там
выполняется условие
F (t) > tF (0) + Min {F (0), F (1)} > 0. (3.13)
Используя теперь (3.6), (3.9) и (3.10), заключаем из условия (3.13), что
для 0<?<1
(л (ftp. ti)f>(F(t))\ (3.14)
тогда как в соответствии с (3.5) автоматически получаем
Л0 (*Ф" "0> 0. (3.15)
Особый случай (3.11) рассматривается, очевидно, аналогичным образом (или
исходя из соображений непрерывности).
§ 4. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ В Mn1)
Благодаря теореме, приведенной в § 3, главная трудность теперь
преодолена. Остальная часть исследования состоит в выводе элементарных
следствий из этой теоремы. Разумеется,
!) См. [31].
152
Pec И о cm
функцию Wv (?j ..., ?#), о которой говорится в теореме, мы будем
отождествлять с одним из средних по вакууму, о которых говорилось в § 2.
Тогда можно утверждать, что особое физическое значение имеют
действительные точки в M'n [это такие точки, в которых регулярным
является исходное вакуумное среднее (2.2), а не только его аналитическое
продолжение, если оно существует)]. Это утверждение оказывается
правильным. Обозначим эти точки (qx ..., Qn). Они характеризуются
следующей теоремой.
Теорема. Действительная точка (qx ..., Qn) принадлежит M'n только, если
при произвольных неотрицательных %k, сумма которых не равна нулю, вектор
...+ будет
пространственно-подобным.
Доказательство. Условие является, очевидно, необходимым. Именно, если (q1
..., Qyv)?^?/v, то существует представление Л ?L+(С), такое, что Qfe =
A?fe и (?i ?лг) G"-%v. Далее, сумма (2 ^ь)2^ ?2 тогда будет
действительной. Однако величина ? - 2^k?k принадлежит М, так как ее
мнимая часть находится в F4, поскольку все Кк > 0. Нетрудно теперь
убедиться, что действительные квадраты векторов из М будут
отрицательными.
Условие является достаточным. Если оно выполняется, то наименьший
выпуклый конус f, содержащий все qLj т. е. образованный всеми точками
?=2^ч6г с ^>0" состоит из одних только пространственно-подобных векторов.
Следовательно, этот конус имеет с передним конусом V+ и задним конусом V_
только общую вершину ? = 0. Поэтому существует касательная к V+ плоскость
av?v = 0, отделяющая V+ от f. Имеем av?v>0 для l?V+, av?v < 0 для и,
наконец, av?v<0 для l?V_. Точно так же существует касательная к V_
плоскость pv|Vr=z: 0, отделяющая V_ от !, такая, что $vlv>0 для
(3V?V<0
для ? ? ! и pv?v< 0 для ?? V +. При этом а*и (3 - нулевые векторы,
нормированные условием (а(3) - - 2. Тогда существует преобразование AgL/,
переводящее а в (1, 1, 0, 0) и (5 в (- 1, 1, 0, 0). Теперь для ??f, во-
первых, av?v< 0 и, во-вторых, следовательно ?1>?° и ?*> - ?°. В
частности,
в этой системе координат имеем q[ > | q? | для 1~ 1, 2... ,N.
Теперь легко доказать, что можно записать в виде
Qi = A_1?i, причем (?2 ..., ?дг) 6 Mn и Л ?L+(C). Полагаем, на-
пример,
G = iQ), ?1 - ^6?, e? = q?, =
Принцип Паули и группа Лоренца 153*
или ^ = ЛQt, причем
0 ,еь+ (С).
Тем самым теорема доказана.
К сожалению, ответ на вопрос, можно ли еще расширить без дополнительных
предположений область регулярности, полученную в предыдущем параграфе,
остается, по-видимому, неизвестным. Однако достоверно известно, что
действительные точки регулярности не будут затронуты этим расширением.
Это следует из того, что можно без труда указать функции, хотя и
регулярные в Mn, но сингулярные в любой наперед заданной действительной
точке вне Mn- Например, пусть (gx ..., giv)-действительная точка вне Mn-
Тогда по нашей теореме существуют
h>Q при У.К = !" такие, что (2ХЫ2 = 0 или (Ehlk)2-1 = Вообще говоря,
функции не обращаются в нуль внутри M'n, хотя каждую из них можно сделать
равной нулю в наперед заданной точке. Функция, обратная этой, и будет
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed