Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
выполняется условие
wv (Ь..., Ы = S (A) WV (Л'Ъ..., Л'^лг), (3.1)
причем S (Л) есть конечномерное (и необходимо однозначное) представление
собственной группы Лоренца, то VFv(?i •••" ?лг) допускает однозначное
аналитическое продолжение в область M'N, являющуюся пересечением всех AMn
с А?Ь+(С). Кроме того, уравнение (3.1) выполняется для каждого А?Ь+ (С),
причем в соответствии с первым параграфом S (Л) есть однозначно
определенное продолжение в Ь+ (С) первоначального представления.
Доказательство: А. Теорема, в частности, утверждает, что уравнение (3.1)
с А?Ь+(С) можно применять для однозначного определения ..., ?дг) в тех
точках Mn [т. е.
точках (?i...,?n), переходящих-при комплексном преобразовании Лоренца Л-1
в точки области Mn\, которые не принадлежат Mn- Однако для однозначности
необходимо и достаточно, чтобы уравнение (3.1) всегда выполнялось в тех
случаях, когда (?i ---,?>n)?Mn и (Л'1^ ..., Л_1?дг) ?Mn, но ЛgL+(C), т.
е. когда (3.1) с AgL+ (С) не ведет к многозначностям уже в Mn-Это следует
из того обстоятельства, что Ь+{С) есть группа.
Как только это доказано, остальное получить легко. Дело в том, что
продолжение с помощью уравнения (3.1) будет, очевидно, аналитическим:
необходимо лишь выбрать Л так, чтобы (А-1^ ...,Л_1^)6^?лг, затем
фиксировать Л и варьировать (?i •••> ?лг) в достаточно малой окрестности.
Только что доказанную основную часть теоремы можно рассмотреть и под
несколько иным углом зрения, фиксируя в правой части уравнения (3.1) (?х
..., ?iv), но считая ее уже функцией F (Л) на L+(C). Конечно, эта функция
первоначально определяется лишь там, где (А-1^ ..., Л"1^) лежит в Mn- Тем
самым в L+(C) фиксируется область, зависящая от (^ ..., ?дг). Остается
показать, что F (Л) в этой области постоянна. Продолжение затем
получается, если на всей группе ^(Л) полагается равной этой постоянной
(зависящей от Ё^..., ?n)•
Б. Теперь легко получается частный результат:
/,(Л) = 25?(Л)1У|,(Л-*Б1...,Л-1Ьу), <3-2)
м-
т. е. в достаточно малой окрестности единичного элемента А - Е постоянна
на Ь+{С). При этом предполагается, что (hZn) ?Mn- Чтобы убедиться в этом,
введем в группе
Принцип Паули и группа Лоренца
149
Ь+(С) параметры А^.., А6, упомянутые в первом разделе. Далее рассмотрим
такую малую окрестность | | < а, что в ней
1) Л и А6) регулярны и аналитичны;
2) представление Ау(Л(Ах Аб)) регулярно и аналитично [собственно, это не
будет новым ограничением, поскольку S (А) как однозначное представление
является полиномом по Л];
3) если (Л-1^ ..., Aто WVi{A~1l)1 Л-1^), как итерированная функция, будет
регулярной и аналитической относительно А^..., А6. Это имеет место для
Е(А(Хг ...Ле)) = Р1(Х1 А6).
Для действительных Аа ..., А,6, F1(Kl ..., А6) постоянна, так как им
соответствуют действительные преобразования из группы^; следовательно, в
рассматриваемой окрестности Fx вообще будет постоянной.
В. Мы встретимся с трудностями лишь тогда, когда захотим доказать, что F
(А) постоянна во всей области, которая характеризуется условием (Л-1^!
..., A_1?iv)G"%v и которую мы будем обозначать символом J. Как мы знаем
из пункта Б, это имеет место в окрестности Е или вообще в соответствующей
окрестности какой-нибудь точки J. Это легко показать, пользуясь тем, что
S (Л) есть представление и L+ (С) -группа. Если J - односвязная область,
то отсюда следует постоянство F (Л) на J. Таким образом, докажем, что
каждая точка Л 6 J может быть связана с Е линией, целиком расположенной в
J.
Это значит (если мы теперь заменим Л 1 на Л), что для каждой точки (?х
..., ?лг) 6 &N и для каждого Л, для которого (Л?х ..., Л?лг)мы должны
найти путь A(t) с Л(0) = ?г и Л (!) = Л, так что всегда
(Л(0 Si- • A{t)iN)?MN для
Г. Последнюю задачу можно упростить. Пусть Л = Л1Л/Л2 и A1}2gL+. При этом
М означает нормальную форму (1.10). Тогда искомый путь можно составить из
следующих отрезков:
(1) Л (г) = Л2(г) для Л2(0) = Е, Л2 = Л2,
(2) A(t) - M (t) Л2 для "j < ^ < у > mQ^)=M (3.3)
(3) Л (t) = Лх (()МА2 дляу<^< 1, Aj = Е, А1(1) = А1.
450
Pec Иост
Первый и третий отрезки пути, очевидно, не приводят ни к каким
неприятностям, поскольку в группе L* выполняется условие (1), Lt -
односвязная группа, и область Мп инвариантна относительно этой группы.
Существование же второго отрезка устанавливается следующей леммой.
Лемма. Пусть ? (ср, X) = М (ср, х) ? с действительными | Ф | < jt и X:
Кроме того, пусть и ? (ср, х)вЯ- Тогда и ? (?ф, t%)?M
для 0< ?< 1.
Поскольку упомянутый в лемме путь зависит только от <р и X и не зависит
от ?, то и в случае многих векторов этот путь непосредственно является
искомым вторым отрезком.
Прежде чем перейти к доказательству леммы, заполним пробел, относящийся к
тем AgJ, которые принадлежат к нормальной форме (1.11). Эти исключения
здесь можно не рассматривать, потому что j - открытая область, а также
потому, что каждая окрестность такого преобразования содержит в себе
преобразования, принадлежащие нормальной форме (1.10).
