Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
Двузначные представления распадаются на два класса: (1, - 1) и (-1, 1).
Нормальная форма комплексного преобразования Лоренца. Определение: два
комплексных преобразования Л
и Л из Ь+ (С) называются эквивалентными относительно L+,
"если Л = Л1ЛЛ2 и Л1)26?+.
Принцип Паули и группа Лоренца
145
Теперь возникает вопрос, каким образом можно найти внутри эквивалентного
класса по возможности наиболее простое представление. Для этого служит
следующая теорема.
Теорема. Комплексное преобразование Лоренца Л 6 L+ (С) эквивалентно
одному из двух следующих:
cos ф ?sin(p О
i'sincp cosq). О
М (ф, х)= I о о ch% - , Ф, X действительны,
О 0 i sh %
(1 10)
или
Мг (т)= ±1 . . . ,т^0и действительно.
(1.11)
Доказательство. Применяя для эквивалентности обозначение "~", рассмотрим
сначала представление (1.9). Пусть теперьЛ = Л(Л, 5), тогда (A, B)~(CAD,
CBD'^D^B'^AD.E); последнее получается при выборе C'BD'-E. Теперь
необходимо еще подходящим выбором D преобразовать матрицу В,~1А к
нормальной форме. Как известно, при этом возможны два случая: либо
Я2 О \ _\ /Д 0 \ [X*'1 о
о я* >
СА'в) Uq хА'Ег \ \о г1
при Я2 = либо
/ /1 2ix\ \ ( /1 ix\ /1 ix
(Л, В)~(±(0 1).я)~(±(0 i)'(o 1
с произвольным действительным т Ф 0.
Вычисляя соответствующие преобразования Лоренца, находим обе эти
нормальные формы.
Ю Заказ Jsfc 214
146
Pec Иост
Нормальные формы (1.10) и (1.11) - это, по существу, известные нормальные
формы [15] действительного преобразования Лоренца, написанные для чисто
мнимых преобразований. Приведенный выше вывод является частным, поскольку
он основан на представлении
(1.9). Однако аналогичный результат можно непосредственно получить и для
произвольного числа измерений [36].
§ 2. СРЕДНЕЕ ПО ВАКУУМУ1)
Рассмотрим релятивистскую теорию поля. Пусть она описывается конечным
числом спинорных полей
(ft)
ЧМ*);
здесь vk сокращенно обозначает аг . . . anft, Pi . . . Рmk- Сделаем
обычные предположения, из которых мы особо подчеркнем следующие:
1) Пространство состояний должно быть гильбертовым пространством, т. е. в
нем определяется положительное скалярное произведение. При усреднении
операторов поля с помощью некоторых функций они действуют на эти функции.
2) К теории должно принадлежать унитарное представление неоднородной
группы Лоренца. Символ (Л, а) обозначает преобразование х' = Ах + а. При
этом Представление обозначается символом U (Л, а). Тогда выполняется
равенство^
и (Л, a)(ivfe (*) t/'1 (Л, а) = S S'1* (Л-1) ^ (Ах + а), (2.1)
н
причем S (Л) означает конечномерные представления группы рассмотренные в
предыдущем параграфе. Следовательно, существует вектор энергии-импульса
Pv*
3) Существует вакуум, т. е. невырожденное состояние с минимальной
энергией. Это состояние принадлежит нулевой энергии и остается
инвариантным.
Как выясняется при более внимательном рассмотрении, теория поля полностью
определяется значениями конечных произведений операторов поля,
усредненными по вакууму, например
(0) (1) (N)
ИМ!,.. ?n) ~ ^ v0 (хо) Ч5 (xi) ¦ • • ^vn(xn))0. (2.2)
При этом v означает совокупность индексов . . . vy
и lh~xk-хк_г. Трансляционная инвариантность, следующая
!) См. [29, 30].
Принцип Паули и группа Лоренца
147
из второго и третьего предположений, уже использована в формуле (2.2). Из
этих предположений далее следует для AgL|.
Wv (ЛЬ..., AIn) = 2 S$ (A) (b • • •, ?*-). (2.3)
Поскольку Wv-однозначная функция то она обращается в нуль, если S (Л)
принадлежит двузначному представлению.
Однако решающее значение имеет для нас то следствие из второго и третьего
предположений, которое утверждает, что трансформанта Фурье Wv (рх . . .,
pN) от функции Wv . . ., ?*) обращается в нуль, если не все векторы
удовлетворяют условию pk 6 V+. Отсюда следует, что Wv (?i . . ., In) есть
граничное значение аналитической функции (?i ..., ?лг). Последняя
определяется интегралом Фурье и является регулярной и аналитической при
условии Im^g V+. Обозначим символом Mn область, определенную этим
способом. Вместо мы будем писать просто М. Действительных точек внутри
области нет; они лежат только на границе. Наконец, из определения функции
(?i ...,&v) при Л ?L\_ следует уравнение
Wv(AC1...,A^) = 2^v(A)WV(Ci---, У)- (2.4)
Ibt
Закончим этот параграф двумя замечаниями:
а) Первое предположение до сих пор применялось нами неявно и именно там,
где подразумевалось, что оператор энергии обладает действительным
спектром. Мы еще воспользуемся этим предположением позднее и тогда же еще
раз подчеркнем это обстоятельство.
б) Пока мы не делали никаких предположений о перестановочных
соотношениях. Такие предположения также будут сделаны позднее.
§ 3. ТЕОРЕМА БАРГМАННА, ХОЛЛА И УАЙТМЕНА1)
Перейдем теперь к важнейшему (и труднейшему) вспомогательному инструменту
для дальнейшего исследования - к теореме, указанной в заголовке.
Эта теорема гласит: если функция Wv (^ ?N) регулярна
и однозначна в и если, кроме того, для каждого AgL^L
1) См. [ 29, 30].
10*
148
Pec Иост,
