Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
Лоренца Ljr(AV+ = V+) и на L+(AV+ = V_). Аналогичным образом распадается
и L_. Так как нетрудно доказать, что L+ односвязна, то группа L не
поддается дальнейшему геометрическому расщеплению. Четыре компоненты L
можно записать в виде
?=(4+р7ъ!ж/>4 + /х!),
L= L+ + L '
При этом Р и Т - специальные преобразования Лоренца to' _ to. to' _
to.
P: lk'=-th; T: lh' = th-, ' PT: (4-2>
Комплексная однородная группа Лоренца L (С) состоит из таких комплексных
линейных преобразований А над комплексными векторами ? = (?°, ?*, ?2,
?3), которые сохраняют инва-
з
риантную форму ?2= (?0)2 - 2 (?fe)2- Опять выполняетсяравен-
h= 1
142 Pec Иост
ство ATGA = G. Поэтому L(C) распадается на L+ (С) (| Л | = +1) и Ь_ (С)
(| Л | = - 1). Однако теперь уже Ь+ (С) - односвязная группа, и мы
получаем разложение
L(C) = L.(C)+PL.(C). (1.3)
Следовательно, Ь+ (С) содержит в себе действительные преобразования L+ и
PTL+. В частности, единичный элемент Е в L+ (С) можно связать с элементом
РТ разными способами, например
i sin ф О cos ф О
A(,p) = 0 cos* - • 0<ф<я. (1.4>
О - sin ф
Конечно, соответствующую окрестность единичного элемента группы Лоренца
аналитически можно параметризовать разными способами. Особенно
элементарным оказывается следующий способ.
Пусть
0 к К К
0 К -к
К Я3 0 h
,А6 *2 -К 0.
тогда
А = (E + R) (Е - R)'1 (1.6)
представляет собой преобразование Лоренца. Действительным к
соответствуют действительные преобразования* комплексным к - комплексные
преобразования.
Из (1.5) следует RTG + GR = 0 и отсюда
ATGA = (Е - RTy1 (Е + RT) G{E + R){E - R)'1 = = (Е - КгУг {Е - RT) G(E-
R){E - i?)"1 = G.
Наконец, разрешая (1.6), получаем
R = {A-E)(A + E)-K (1.7)
Это возможно, поскольку -1 не является собственным значением А, во всяком
случае в достаточно малой окрестности единичного элемента.
Принцип Паули и группа Лоренца 143^
Преобразования Лоренца, принадлежащие чисто мнимым i?, можно назвать
чисто мнимыми. Они обладают свойством А*ТА = А'А = Е и поэтому
определяются независимо от параметризации.
Особое значение для нас имеет следующее представление группы Лоренца.
Положим, что для действительных векторов ? X = lvOv и аналогично для
комплексных векторов ? Z = ?vav, причем
/1 0\ /О 0\ /О 1\ /о
<т" =
^0 1/' 1 \0 -1/' 0/' Оу
Таким образом, ?2 = | X | и ?2 = jZ|. Кроме того, = Пусть
теперь А ж В будут двухрядными матрицами, для которых
|Л| = |?| = 1. Тогда
Х' = АХА* (1.8)
представляет преобразование Лоренца A(A)?Z4., а
Z' = AZBT (1.9)
преобразование Лоренца Л (Л, В)?Ь+(С). Эти представления двузначные,
поскольку в первом случае Л ( -Л) = Л (Л), а во втором Л( - А, - В) =
А(А, В). Снова нетрудно убедиться', что каждое преобразование AgL+
допускает представление
(1.8), а каждое Л ? L+ (С) - представление (1.9).
Как известно, представление (1.8) образует основу спинор-ного исчисления
[33]. Простейшие спиноры
V.
1
V.
2
преобразуются по уравнениям и' = Аи и v' = A'v. При этом А' - матрица,
комплексно-сопряженная Л; следовательно,
А' =А*Т. Общий спинор а . . преобразуется как про-
а1* * 'ап'&1 ' *Рт
изведение иа ... иа v. ... v. . Он принадлежит конечномер-
1 п Pj Pm.
ному представлению группы L+. Последняя неприводима, если
спинор симметричен по индексам . . . am и (3j . . . (3m, и ведет к
однозначному представлению, если четности пит одинаковы. Таким способом
получаются все конечномерные неприводимые представления. Кроме того,
каждое конечномерное представле-
144
Pec Иост
ние L+ является вполне приводимым. Комплексно-сопряженный спинор а* .
. преобразуется как b ... Опе-
Рг'Аг'аГ"ап
рацию свертывания спинора можно производить только с инвариантными
спинорами
/ 0 1 \ / 0 1\ е°р \ - 1 о) и е"'Ч-1 о)-
Каждое из упомянутых представлений!/^, очевидно, можно расширить до
представленияЬ+ (С). При преобразовании Л (А, В) и и v должны
преобразовываться по формулам и' - Аи и v' = Bv. Спинора . .
преобразуется далее как произ-
аГ ' ' 'Pm
ведение иа ... иа v. ...v. . Это обобщение имеет для двузначных П Pi Pm
представлений весьма примечательное следствие, с особой силой
подчеркнутое Паули: преобразование РТ, заданное, например, равенствами А
- - Е и В - Е, не переводит пару комплексносопряженных двузначных
спиноров снова в такую же пару. Действительно, при этом, очевидно, а
. . умно-
аГ * •%' Рг "Р(tm)
жается на ( - 1)п, тогда как а* . . - на (- 1)ж. Однако
а1' * • an> • Эт
п и m обладают различной четностью.
Для однозначных представлений это обстоятельство не
имеет места.
Характер представления Паули [16]. Под этим понимается знаковая пара [(-
1)п, (- 1)т)], сопоставленная представлению а^ р р * Произведение
двух характеров определяется
равенством (a, b) (а', b') = (aa\ bb'). Прямому произведению
представлений соответствует произведение характеров, и в результате
приведения представления всегда появляются только представления одного и
того же характера. Однозначные представления принадлежат характеру (1, 1)
(тензоры четного ранга) или характеру (-1, -1) (тензоры нечетного ранга).
